A magnitude do campo elétrico a uma distância R de uma partícula carregando carga q é
. Agora considere esta mesma quantidade de carga
distribuída uniformemente por todo o volume de uma esfera sólida não condutora de raio R. Qual é a magnitude do campo elétrico, em termos de
, (a) uma distância
do centro da esfera, (b) na superfície da esfera, e © uma distância
do centro da esfera?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre campo elétrico envolvendo uma carga distribuída de duas maneiras: primeiro, como uma carga pontual e depois distribuída uniformemente em uma esfera sólida não condutora. Nosso objetivo é encontrar a magnitude do campo elétrico em três posições diferentes em relação à esfera, tudo isso em termos de $ E_{0} $. Para resolver, vamos precisar entender como o campo elétrico se comporta tanto fora quanto dentro de uma distribuição esférica de carga.
Passo 2
Antes de começar a calcular, é importante relembrar alguns conceitos básicos:
-
Campo elétrico de uma carga pontual: Para uma carga $ q $ em um ponto no espaço, o campo elétrico a uma distância $ r $ é dado poronde $ k $ é a constante eletrostática.
-
Campo elétrico fora de uma esfera de carga: Se a carga está distribuída uniformemente em uma esfera de raio $ R $, fora da esfera (ou seja, para $ r > R $), o campo elétrico é o mesmo que o de uma carga pontual no centro da esfera:
-
Campo elétrico dentro de uma esfera de carga: Dentro da esfera (para $ r < R $), o campo elétrico varia linearmente com a distância $ r $:Isso acontece porque a carga dentro de um raio menor que $ R $ contribui para o campo elétrico.
Passo 3
Parte (a): Encontrar o campo elétrico a uma distância $ 2R $ do centro da esfera.
Como $ 2R > R $, estamos falando de um ponto fora da esfera. Usamos a fórmula para o campo elétrico fora da esfera:
Aqui, usamos o fato de que $ E_{0} = \frac{kq}{R^{2}} $.
Passo 4
Parte (b): Encontrar o campo elétrico na superfície da esfera, ou seja, a $ R $ do centro.
Na superfície, estamos exatamente em $ r = R $. Para uma esfera de carga uniforme, o campo elétrico na superfície é:
Então, na superfície, o campo elétrico mantém o valor $ E_{0} $.
Passo 5
Parte ©: Encontrar o campo elétrico a uma distância $ \frac{R}{4} $ do centro da esfera.
Aqui, $ \frac{R}{4} < R $, então estamos dentro da esfera. Usamos a fórmula para o campo elétrico dentro da esfera:
Portanto, o campo elétrico a $ \frac{R}{4} $ do centro também é $ \frac{E_{0}}{4} $.
Resposta
(a) $ \frac{E_{0}}{4} $;
(b) $ E_{0} $;
© $ \frac{E_{0}}{4} $.
(b) $ E_{0} $;
© $ \frac{E_{0}}{4} $.