A magnitude da força gravitacional da Terra sobre uma partícula é
, em que
é a distância do centro da Terra até a partícula. Considere que a Terra seja uma esfera de raio
com uma distribuição uniforme de massa. Assuma que perfuremos um buraco bem fino de forma que essa partícula pontual possa ser colocada a uma distância
do centro da Terra. Qual é o valor de
?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se o valor da razão entre as magnitudes das forças gravitacionais quando a partícula está na superfície e quando está a meio raio do centro da Terra: quer-se
. - Informações dadas:
- A Terra é uma esfera de raio
com distribuição de massa uniforme. - A força gravitacional da Terra sobre a partícula é
, função da distância do centro da Terra até a partícula. - A partícula é pontual (massa
, presumida) e podemos colocá-la em e em .
- A Terra é uma esfera de raio
Passo 2
Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Lei da gravitação de Newton (para uma massa total
concentrada efetivamente no centro, válida fora da esfera): a magnitude da força sobre a partícula de massa a uma distância do centro é
onde
é a constante gravitacional,
é a massa total da Terra e
é a massa da partícula.
-
Teorema da casca esférica (explicação intuitiva): para uma distribuição esféricamente simétrica, a contribuição gravitacional das camadas esféricas de massa externas ao ponto onde a partícula está se cancela; assim, a força gravitacional em um ponto a uma distância
do centro depende somente da massa contida dentro do raio . Em palavras simples: para efeitos da força em , é como se só existisse a massa interna ; as cascas externas não puxam líquido (resultado clássico da simetria). -
Para uma esfera de densidade uniforme
, a massa contida dentro de um raio é o volume do raio vezes . A densidade da Terra é
Portanto a massa interna até
é
Passo 3
Força dentro da esfera (desenvolvimento passo a passo):
- Usando que somente
contribui quando , a força gravitacional para é
- Substituindo
obtemos
- Conclusão importante e intuitiva: enquanto a partícula estiver dentro da Terra (isto é,
), a força cresce linearmente com ; em particular . Como checagem, em temos (faz sentido: no centro o puxão de todas as direções se cancela).
Passo 4
Calcular
e
explicitamente:
- Na superfície (
) usamos a forma externa (ou alternativamente a fórmula interna avaliada em ; ambas coincidem):
- A meio raio (
) usamos a expressão para :
Passo 5
Calcular a razão pedida:
- Tomando a razão,
- Intuição final: a força na superfície é o dobro da força a meio raio, porque dentro da esfera a força cai linearmente até zero no centro; estando a
a força é metade da força na superfície.