A magnitude da força gravitacional da Terra sobre uma partícula é F(r), em que r é a distância do centro da Terra até a partícula. Considere que a Terra seja uma esfera de raio R com uma distribuição uniforme de massa. Assuma que perfuremos um buraco bem fino de forma que essa partícula pontual possa ser colocada a uma distância R / 2 do centro da Terra. Qual é o valor de F(r=R) / F(r=R / 2) ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se o valor da razão entre as magnitudes das forças gravitacionais quando a partícula está na superfície e quando está a meio raio do centro da Terra: quer-se F(r=R) / F(r=R/2).
  • Informações dadas:
    • A Terra é uma esfera de raio R com distribuição de massa uniforme.
    • A força gravitacional da Terra sobre a partícula é F(r), função da distância r do centro da Terra até a partícula.
    • A partícula é pontual (massa m, presumida) e podemos colocá-la em r=R e em r=R/2.

Passo 2

Princípios físicos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Lei da gravitação de Newton (para uma massa total M concentrada efetivamente no centro, válida fora da esfera): a magnitude da força sobre a partícula de massa m a uma distância r do centro é
F_{\text{fora}}(r)=\frac{G M m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional, M é a massa total da Terra e m é a massa da partícula.
  • Teorema da casca esférica (explicação intuitiva): para uma distribuição esféricamente simétrica, a contribuição gravitacional das camadas esféricas de massa externas ao ponto onde a partícula está se cancela; assim, a força gravitacional em um ponto a uma distância r do centro depende somente da massa contida dentro do raio r. Em palavras simples: para efeitos da força em r, é como se só existisse a massa interna M(r); as cascas externas não puxam líquido (resultado clássico da simetria).
  • Para uma esfera de densidade uniforme \rho, a massa contida dentro de um raio r é o volume do raio r vezes \rho. A densidade da Terra é
\rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
Portanto a massa interna até r é
M(r)=\rho \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = M\cdot\frac{r^{3}}{R^{3}}.

Passo 3

Força dentro da esfera (desenvolvimento passo a passo):
  • Usando que somente M(r) contribui quando r<R, a força gravitacional para r<R é
F_{\text{dentro}}(r)=\frac{G\,M(r)\,m}{r^{2}}.
  • Substituindo M(r)=M\frac{r^{3}}{R^{3}} obtemos
F_{\text{dentro}}(r)=\frac{G\,\big(M\frac{r^{3}}{R^{3}}\big)\,m}{r^{2}} =G M m \frac{r}{R^{3}}.
  • Conclusão importante e intuitiva: enquanto a partícula estiver dentro da Terra (isto é, r<R), a força cresce linearmente com r; em particular F_{\text{dentro}}(r)\propto r. Como checagem, em r=0 temos F=0 (faz sentido: no centro o puxão de todas as direções se cancela).

Passo 4

Calcular F(R) e F(R/2) explicitamente:
  • Na superfície ( r=R) usamos a forma externa (ou alternativamente a fórmula interna avaliada em r=R; ambas coincidem):
F(R)=\frac{G M m}{R^{2}}.
  • A meio raio ( r=R/2) usamos a expressão para r<R:
F\!\left(\tfrac{R}{2}\right)=G M m \frac{(R/2)}{R^{3}} =G M m \frac{1}{2R^{2}} =\frac{1}{2}\,\frac{G M m}{R^{2}}.

Passo 5

Calcular a razão pedida:
  • Tomando a razão,
\frac{F(R)}{F\!\left(\tfrac{R}{2}\right)} =\frac{\dfrac{G M m}{R^{2}}}{\dfrac{1}{2}\dfrac{G M m}{R^{2}}} =2.
  • Intuição final: a força na superfície é o dobro da força a meio raio, porque dentro da esfera a força cai linearmente até zero no centro; estando a R/2 a força é metade da força na superfície.

Resposta

2

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