A magnitude da força gravitacional da Terra sobre uma partícula pontual é
, em que
é a distância do centro da Terra até a partícula. Assuma que a Terra seja uma esfera de raio
com uma distribuição uniforme de massa. Qual é o valor de
?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A magnitude da força gravitacional da Terra sobre uma partícula pontual é
, onde é a distância do centro da Terra até a partícula. - A Terra é modelada como uma esfera de raio
com distribuição de massa uniforme. Podemos chamar a massa total da Terra de e a massa da partícula de . - A pergunta: calcular o valor de
.
Passo 2
Lembrete da lei que vamos usar (e o porquê): a lei da gravitação universal de Newton dá a força entre duas massas puntuais como
onde:
-
é a constante gravitacional, -
e são as duas massas, -
é a distância entre os centros das massas.
Importante: para uma esfera com distribuição de massa esfericamente simétrica e uniforme, para pontos externos à esfera (isto é, para
) a força gravitacional é exatamente a mesma que se toda a massa da esfera estivesse concentrada no seu centro. Esta é uma consequência do teorema da casca esférica (shell theorem) de Newton: uma casca esférica uniforme exerce força zero no interior e, para pontos externos, age como massa concentrada no centro. Assim, para
podemos aplicar a fórmula acima com
sendo a massa total da Terra.
Passo 3
Aplicando a fórmula para o ponto sobre a superfície (
), como este é um ponto externo ou na superfície:
Aplicando a fórmula para
(também ponto externo):
Passo 4
Agora calculamos a razão pedida dividindo as duas expressões. Observe que
,
,
e
vão se cancelar:
Passo 5
Interpretação final rápida (motivação para decorar): fora da Terra a intensidade da gravidade cai com o inverso do quadrado da distância. Se você triplica a distância (de
para
), a força fica
do valor original, então a razão entre o valor na superfície e o valor a
é
. Isso é útil de guardar para questões rápidas na prova — respira, você consegue!