A magnitude da força gravitacional da Terra sobre uma partícula pontual é F(r), em que r é a distância do centro da Terra até a partícula. Assuma que a Terra seja uma esfera de raio R com uma distribuição uniforme de massa. Qual é o valor de F(r=R) / F(r=3 R) ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A magnitude da força gravitacional da Terra sobre uma partícula pontual é F(r), onde r é a distância do centro da Terra até a partícula.
  • A Terra é modelada como uma esfera de raio R com distribuição de massa uniforme. Podemos chamar a massa total da Terra de M e a massa da partícula de m.
  • A pergunta: calcular o valor de \dfrac{F(r=R)}{F(r=3R)}.

Passo 2

Lembrete da lei que vamos usar (e o porquê): a lei da gravitação universal de Newton dá a força entre duas massas puntuais como
F=\frac{G M m}{r^2},
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M e m são as duas massas,
  • r é a distância entre os centros das massas.
Importante: para uma esfera com distribuição de massa esfericamente simétrica e uniforme, para pontos externos à esfera (isto é, para r\ge R) a força gravitacional é exatamente a mesma que se toda a massa da esfera estivesse concentrada no seu centro. Esta é uma consequência do teorema da casca esférica (shell theorem) de Newton: uma casca esférica uniforme exerce força zero no interior e, para pontos externos, age como massa concentrada no centro. Assim, para r\ge R podemos aplicar a fórmula acima com M sendo a massa total da Terra.

Passo 3

Aplicando a fórmula para o ponto sobre a superfície ( r=R), como este é um ponto externo ou na superfície:
F(R)=\frac{G M m}{R^2}.
Aplicando a fórmula para r=3R (também ponto externo):
F(3R)=\frac{G M m}{(3R)^2}=\frac{G M m}{9R^2}.

Passo 4

Agora calculamos a razão pedida dividindo as duas expressões. Observe que G, M, m e R^2 vão se cancelar:
\frac{F(R)}{F(3R)}=\frac{\dfrac{G M m}{R^2}}{\dfrac{G M m}{9R^2}}=\frac{1}{1/9}=9.

Passo 5

Interpretação final rápida (motivação para decorar): fora da Terra a intensidade da gravidade cai com o inverso do quadrado da distância. Se você triplica a distância (de R para 3R), a força fica 1/3^2=1/9 do valor original, então a razão entre o valor na superfície e o valor a 3R é 9. Isso é útil de guardar para questões rápidas na prova — respira, você consegue!

Resposta

9

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