Uma partícula de massa m se move em duas dimensões sob a ação da força
\vec{F}=a\left(4 x y \hat{x}+3 y^{2} \hat{y}\right),
onde a é uma constante positiva. Determine o trabalho W realizado pela força \hat{F} quando a partícula se movimenta ao longo da parábola y=x^{2} / c, da origem do sistema de coordenadas até a posição \vec{r}=c(\hat{x}+\hat{y}), onde c é uma constante positiva.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a força
\vec{F}=a\left(4 x y \,\hat{x}+3 y^{2}\,\hat{y}\right),
onde a>0 é constante e \hat{x},\hat{y} são vetores unitários nas direções x e y.
  • Dado: a partícula descreve a parábola
y=\frac{x^{2}}{c},
partindo da origem (0,0) até o ponto
\vec{r}_{f}=c(\hat{x}+\hat{y}) \quad\text{ou seja}\quad (x_f,y_f)=(c,c),
com c>0. Observação rápida: quando x=c temos y=c^{2}/c=c, então o ponto final está coerente com a parábola.
  • Pedido: determinar o trabalho W realizado por \vec{F} ao longo desse caminho, ou seja, o trabalho acumulado ao ir de (0,0) até (c,c) seguindo y=x^{2}/c.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva C é o integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Explicando: d\vec{r} é um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória; \vec{F}\cdot d\vec{r} é a contribuição infinitesimal de trabalho (força projetada no deslocamento vezes o comprimento do deslocamento). Para calcular na prática, parametrize a curva por um parâmetro t (aqui usaremos x como parâmetro conveniente), escreva \vec{r}(t), compute d\vec{r}=\vec{r}'(t)\,dt, substitua \vec{F}(\vec{r}(t)) e faça o produto escalar \vec{F}\cdot\vec{r}'(t) para integrar em t entre os limites correspondentes.
  • Lembrete sobre produto escalar em componentes: se \vec{A}=A_x\hat{x}+A_y\hat{y} e \vec{B}=B_x\hat{x}+B_y\hat{y}, então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_x B_x + A_y B_y.

Passo 3

Escolher parametrização adequada da curva.
  • Como a curva é dada por y=\dfrac{x^{2}}{c} e x vai de 0 até c, uma parametrização natural é usar x como parâmetro t. Definir
\vec{r}(t)=t\,\hat{x}+\frac{t^{2}}{c}\,\hat{y},\qquad 0\le t\le c.
Aqui t representa a coordenada x ao longo do caminho. O ponto inicial t=0 (0,0) e o ponto final t=c (c,c), conforme pedido.
  • Calcular o diferencial de posição:
d\vec{r}=\vec{r}'(t)\,dt=\left(1\cdot\hat{x}+\frac{2t}{c}\,\hat{y}\right)dt.

Passo 4

Avaliar a força \vec{F} ao longo da curva (substituir y em função de t).
  • Sobre a curva temos x=t e y=\dfrac{t^{2}}{c}. Então os componentes de \vec{F} ao longo do caminho são
F_x\big(t\big)=a\cdot 4 x y = a\cdot 4 t\cdot\frac{t^{2}}{c}=a\frac{4 t^{3}}{c},
F_y\big(t\big)=a\cdot 3 y^{2}=a\cdot 3\left(\frac{t^{2}}{c}\right)^{2}=a\frac{3 t^{4}}{c^{2}}.
Portanto, ao longo da curva
\vec{F}(t)=a\left(\frac{4 t^{3}}{c}\,\hat{x}+\frac{3 t^{4}}{c^{2}}\,\hat{y}\right).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} que aparece no integrando.
  • Usando d\vec{r}=\big(1\cdot\hat{x}+\dfrac{2t}{c}\,\hat{y}\big)dt e a expressão de \vec{F}(t),
\vec{F}\cdot d\vec{r} = \Big(a\frac{4 t^{3}}{c}\Big)\cdot 1\,dt \;+\; \Big(a\frac{3 t^{4}}{c^{2}}\Big)\cdot\frac{2t}{c}\,dt.
  • Simplificando cada termo:
\Big(a\frac{4 t^{3}}{c}\Big)dt = a\frac{4 t^{3}}{c}\,dt,
\Big(a\frac{3 t^{4}}{c^{2}}\Big)\cdot\frac{2t}{c}\,dt = a\frac{6 t^{5}}{c^{3}}\,dt.
  • Assim o integrando total é
\vec{F}\cdot d\vec{r} = a\!\left(\frac{4 t^{3}}{c}+\frac{6 t^{5}}{c^{3}}\right)\!dt.

Passo 6

Montar e calcular a integral do trabalho.
  • A integral para o trabalho é sobre t de 0 até c:
W=\int_{0}^{c} a\!\left(\frac{4 t^{3}}{c}+\frac{6 t^{5}}{c^{3}}\right)\!dt.
  • Tirando a e as constantes fora de cada termo:
W=a\left[\frac{4}{c}\int_{0}^{c} t^{3}\,dt + \frac{6}{c^{3}}\int_{0}^{c} t^{5}\,dt\right].
  • Calcular as primitivas:
\int_{0}^{c} t^{3}\,dt=\left.\frac{t^{4}}{4}\right|_{0}^{c}=\frac{c^{4}}{4},
\int_{0}^{c} t^{5}\,dt=\left.\frac{t^{6}}{6}\right|_{0}^{c}=\frac{c^{6}}{6}.
  • Substituindo:
W=a\left[\frac{4}{c}\cdot\frac{c^{4}}{4}+\frac{6}{c^{3}}\cdot\frac{c^{6}}{6}\right] = a\left[\frac{c^{4}}{c}+\frac{c^{6}}{c^{3}}\right].
  • Simplificando as potências:
\frac{c^{4}}{c}=c^{3},\qquad \frac{c^{6}}{c^{3}}=c^{3},
logo
W=a\big(c^{3}+c^{3}\big)=2a c^{3}.

Passo 7

Comentário didático extra (curto e motivador).
  • Observação: se alguém perguntar se essa força é conservativa (isto é, se o trabalho depende só dos pontos inicial/final), dá para checar o rotacional em 2D: \partial F_{y}/\partial x-\partial F_{x}/\partial y. Aqui isso dá -4a x, que não é zero em geral, portanto a força não é conservativa e o trabalho depende do caminho — por isso foi importante parametrizar a parábola específica.
  • Bom trabalho por aguentar até aqui — esse tipo de integral de linha é bem comum e fica mais fácil com prática!

Resposta

W=2 a c^{3}

Exercícios relacionados