Uma partícula de massa
se move em duas dimensões sob a ação da força
onde
é uma constante positiva. Determine o trabalho
realizado pela força
quando a partícula se movimenta ao longo da parábola
, da origem do sistema de coordenadas até a posição
, onde
é uma constante positiva.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a força
onde
é constante e
são vetores unitários nas direções
e
.
- Dado: a partícula descreve a parábola
partindo da origem
até o ponto
com
. Observação rápida: quando
temos
, então o ponto final está coerente com a parábola.
- Pedido: determinar o trabalho
realizado por ao longo desse caminho, ou seja, o trabalho acumulado ao ir de até seguindo .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- Trabalho realizado por uma força ao longo de uma curva
é o integral de linha
Explicando:
é um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória;
é a contribuição infinitesimal de trabalho (força projetada no deslocamento vezes o comprimento do deslocamento). Para calcular na prática, parametrize a curva por um parâmetro
(aqui usaremos
como parâmetro conveniente), escreva
, compute
, substitua
e faça o produto escalar
para integrar em
entre os limites correspondentes.
- Lembrete sobre produto escalar em componentes: se
e , então
Passo 3
Escolher parametrização adequada da curva.
- Como a curva é dada por
e vai de até , uma parametrização natural é usar como parâmetro . Definir
Aqui
representa a coordenada
ao longo do caminho. O ponto inicial
dá
e o ponto final
dá
, conforme pedido.
- Calcular o diferencial de posição:
Passo 4
Avaliar a força
ao longo da curva (substituir
em função de
).
- Sobre a curva temos
e . Então os componentes de ao longo do caminho são
Portanto, ao longo da curva
Passo 5
Calcular o produto escalar
que aparece no integrando.
- Usando
e a expressão de ,
- Simplificando cada termo:
- Assim o integrando total é
Passo 6
Montar e calcular a integral do trabalho.
- A integral para o trabalho é sobre
de até :
- Tirando
e as constantes fora de cada termo:
- Calcular as primitivas:
- Substituindo:
- Simplificando as potências:
logo
Passo 7
Comentário didático extra (curto e motivador).
- Observação: se alguém perguntar se essa força é conservativa (isto é, se o trabalho depende só dos pontos inicial/final), dá para checar o rotacional em 2D:
. Aqui isso dá , que não é zero em geral, portanto a força não é conservativa e o trabalho depende do caminho — por isso foi importante parametrizar a parábola específica. - Bom trabalho por aguentar até aqui — esse tipo de integral de linha é bem comum e fica mais fácil com prática!