Magnitudes e direções. Dados dois vetores, overrightarrow{\mathrm{X}}=5,0 \hat{\mathbf{1}}-2,0 \hat{\mathbf{j}} e overrightarrow{\mathrm{Y}}=-3,0 \hat{\mathbf{1}}+7,0 \hat{\mathbf{J}}, encontre as magnitudes e direções (em relação ao eixo +x ) de
(a) \vec{X}

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\vec{X} = 5,0\,\hat{\mathbf{i}} - 2,0\,\hat{\mathbf{j}}
e pede sua magnitude e sua direção em relação ao eixo +x.
O conteúdo aqui é o cálculo da norma de um vetor no plano e o ângulo que ele faz com o eixo x.

Passo 2

Para achar a magnitude usamos a definição
\|\vec{X}\| = \sqrt{X_x^2 + X_y^2}
onde X_x = 5,0 e X_y = -2,0. Logo,
\|\vec{X}\| = \sqrt{(5,0)^2 + (-2,0)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5,39.

Passo 3

Para achar a direção \theta medimos o ângulo a partir de +x no sentido anti-horário. Usamos
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{X_y}{X_x}\biggr) = \arctan\!\biggl(\frac{-2,0}{5,0}\biggr) \approx -21,8^\circ.
Como o resultado é negativo, isso indica que o vetor está 21,8^\circ abaixo do eixo +x. Em medida positiva no sentido anti-horário pode-se usar
\theta = 360^\circ - 21,8^\circ = 338,2^\circ.

Resposta

Magnitude: \|\vec{X}\| = \sqrt{29} \approx 5,39
Direção: \theta \approx -21,8^\circ (ou, equivalentemente, 338,2^\circ no sentido anti-horário a partir de +x).

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