P2.8 Adição de vetores. Considere dois vetores dados por \overrightarrow{\mathbf{M}}=2 \hat{\mathbf{i}}-5 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}} e \overrightarrow{\mathbf{N}}=4 \hat{\mathbf{\imath}}+\hat{\mathbf{j}}-2 \hat{\mathbf{k}}.
(a) Encontre os vetores \overrightarrow{\mathbf{M}}+\overrightarrow{\mathbf{N}} e \overrightarrow{\mathbf{M}}-\overrightarrow{\mathbf{N}}.
(b) Obtenha um vetor \overrightarrow{\mathbf{P}} tal que \overrightarrow{\mathbf{M}}-\overrightarrow{\mathbf{N}}+\overrightarrow{\mathbf{P}}=0.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\displaystyle \overrightarrow{\mathbf{M}}=2\hat{\mathbf{i}}-5\hat{\mathbf{j}}+3\hat{\mathbf{k}} e
\displaystyle \overrightarrow{\mathbf{N}}=4\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-2\hat{\mathbf{k}}.
O conteúdo é adição e subtração de vetores em forma componente. Vamos somar e subtrair componente a componente.

Passo 2

Para \overrightarrow{\mathbf{M}}+\overrightarrow{\mathbf{N}} somamos cada componente:
\overrightarrow{\mathbf{M}}+\overrightarrow{\mathbf{N}} =(2+4)\hat{\mathbf{i}}+(-5+1)\hat{\mathbf{j}}+(3+(-2))\hat{\mathbf{k}} =6\hat{\mathbf{i}}-4\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}.

Passo 3

Para \overrightarrow{\mathbf{M}}-\overrightarrow{\mathbf{N}} subtraímos componente a componente:
\overrightarrow{\mathbf{M}}-\overrightarrow{\mathbf{N}} =(2-4)\hat{\mathbf{i}}+(-5-1)\hat{\mathbf{j}}+(3-(-2))\hat{\mathbf{k}} =-2\hat{\mathbf{i}}-6\hat{\mathbf{j}}+5\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Queremos \overrightarrow{\mathbf{P}} tal que
\overrightarrow{\mathbf{M}}-\overrightarrow{\mathbf{N}}+\overrightarrow{\mathbf{P}}=0.
Isolando \overrightarrow{\mathbf{P}} temos
\overrightarrow{\mathbf{P}} =-\bigl(\overrightarrow{\mathbf{M}}-\overrightarrow{\mathbf{N}}\bigr) =-\bigl(-2\hat{\mathbf{i}}-6\hat{\mathbf{j}}+5\hat{\mathbf{k}}\bigr) =2\hat{\mathbf{i}}+6\hat{\mathbf{j}}-5\hat{\mathbf{k}}.

Resposta

(a) \overrightarrow{\mathbf{M}}+\overrightarrow{\mathbf{N}}=6\hat{\mathbf{i}}-4\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}},
\;\overrightarrow{\mathbf{M}}-\overrightarrow{\mathbf{N}}=-2\hat{\mathbf{i}}-6\hat{\mathbf{j}}+5\hat{\mathbf{k}}.
(b) \overrightarrow{\mathbf{P}}=2\hat{\mathbf{i}}+6\hat{\mathbf{j}}-5\hat{\mathbf{k}}.

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