P2.7 Vetor resultante. Considere dois vetores no plano x y : \overrightarrow{\mathrm{C}}=4 \hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}} e \overrightarrow{\mathrm{D}}=-1 \hat{\mathbf{\imath}}+5 \hat{\mathbf{\jmath}}.
(a) Determine a soma \overrightarrow{\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{D}} em notação de vetores unitários.
(b) Calcule a magnitude e direção (ângulo com o eixo x+ ) do vetor resultante.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano xy:
\overrightarrow{C}=4\,\hat{\mathbf{i}}-2\,\hat{\mathbf{j}} e
\overrightarrow{D}=-1\,\hat{\mathbf{i}}+5\,\hat{\mathbf{j}}.
Queremos (a) a soma \overrightarrow{C}+\overrightarrow{D} em notação de vetores unitários e (b) a magnitude e a direção (ângulo em relação ao eixo x^+) do vetor resultante. Para isso vamos usar adição componente a componente, o Teorema de Pitágoras para a magnitude e a função \arctan para o ângulo.

Passo 2

Somamos as componentes x e y separadamente:
- Componente x:
R_x = C_x + D_x = 4 + (-1) = 3.
- Componente y:
R_y = C_y + D_y = -2 + 5 = 3.

Passo 3

Escrevemos o vetor resultante em notação de vetores unitários:
\overrightarrow{R} = \overrightarrow{C}+\overrightarrow{D} = R_x\,\hat{\mathbf{i}} + R_y\,\hat{\mathbf{j}} = 3\,\hat{\mathbf{i}} + 3\,\hat{\mathbf{j}}.

Passo 4

Calculamos a magnitude usando o Teorema de Pitágoras:
\|\overrightarrow{R}\| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

Passo 5

Para achar a direção, usamos
\theta = \arctan\bigl(\tfrac{R_y}{R_x}\bigr) = \arctan\bigl(\tfrac{3}{3}\bigr) = \arctan(1) = 45^\circ.
Como R_x>0 e R_y>0, o vetor está no primeiro quadrante, então não há ajuste de quadrante.

Resposta

(a) \overrightarrow{C}+\overrightarrow{D} = 3\,\hat{\mathbf{i}} + 3\,\hat{\mathbf{j}}
(b) \|\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}\| = 3\sqrt{2}, direção \theta = 45^\circ.

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