As magnitudes de dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} são iguais. Qual o ângulo entre \mathbf{v}+\mathbf{w} e \mathbf{v}-\mathbf{w} ?(\operatorname{Resp} . \pi / 2)

Passo 1

O enunciado diz: as magnitudes de dois vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} são iguais. Pede-se: qual o ângulo entre \mathbf{v}+\mathbf{w} e \mathbf{v}-\mathbf{w}?\n
Informações dadas:
\| \mathbf{v} \| = \| \mathbf{w} \| \n
O que é pedido:
determinar o ângulo entre os vetores \mathbf{v}+\mathbf{w} e \mathbf{v}-\mathbf{w}.

Passo 2

Para achar o ângulo entre dois vetores eu vou usar a relação entre produto escalar e cosseno do ângulo:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos\theta,
onde \mathbf{a} e \mathbf{b} são vetores quaisquer, \|\mathbf{a}\| é o comprimento (norma) de \mathbf{a}, \|\mathbf{b}\| é o comprimento de \mathbf{b} e \theta é o ângulo entre eles. Explicando devagar:
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar (também chamado de produto interno): dá um número real e mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro.
  • Se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0 e nenhum dos vetores for o vetor zero, então \cos\theta=0, logo \theta=\pi/2 (são ortogonais).
    Na prova, a maneira direta é calcular (\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{v}-\mathbf{w}) e usar a fórmula acima.

Passo 3

Calculemos o produto escalar (\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{v}-\mathbf{w}). Usamos a distributividade e a comutatividade do produto escalar:
(\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{v}-\mathbf{w}) =\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}+\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}.
Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=\mathbf{w}\cdot\mathbf{v}, os termos do meio se cancelam:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}.

Passo 4

Note que \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{v}\|^2 e \mathbf{w}\cdot\mathbf{w}=\|\mathbf{w}\|^2. Portanto
(\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{v}-\mathbf{w})=\|\mathbf{v}\|^2-\|\mathbf{w}\|^2.
Pelo dado do enunciado temos \|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{w}\|. Logo
\|\mathbf{v}\|^2-\|\mathbf{w}\|^2=0,
portanto
(\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{v}-\mathbf{w})=0.

Passo 5

Se o produto escalar entre dois vetores é zero, e ambos os vetores são diferentes do vetor zero, então o cosseno do ângulo entre eles é zero, ou seja \cos\theta=0. Assim \theta=\pi/2. Temos de verificar rápido o caso degenerado: se \mathbf{v}=\mathbf{w} então \mathbf{v}-\mathbf{w}=\mathbf{0} e o ângulo não está definido entre um vetor e o vetor zero; análogamente se \mathbf{v}=-\mathbf{w} então \mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}. Mas o enunciado é considerado bem-posto para a conclusão padrão, então assumimos que estamos no caso não degenerado (ambos os vetores soma e diferença não são o vetor zero). Nesse caso fica garantido que o ângulo é \pi/2.

Passo 6

Conclusão final: quando \|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{w}\| e \mathbf{v}+\mathbf{w} e \mathbf{v}-\mathbf{w} não são o vetor zero, temos
(\mathbf{v}+\mathbf{w})\cdot(\mathbf{v}-\mathbf{w})=0,
logo os vetores são ortogonais e o ângulo entre eles é \pi/2. Você consegue visualizar isso geometricamente também: soma e diferença apontam em direções perpendiculares quando os comprimentos de \mathbf{v} e \mathbf{w} coincidem.

Resposta

\pi/2

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