As magnitudes de dois vetores
e
são iguais. Qual o ângulo entre
e
Passo 1
O enunciado diz: as magnitudes de dois vetores
e
são iguais. Pede-se: qual o ângulo entre
e
?\n
Informações dadas:
\n
O que é pedido:
determinar o ângulo entre os vetores e
.
Informações dadas:
O que é pedido:
determinar o ângulo entre os vetores
Passo 2
Para achar o ângulo entre dois vetores eu vou usar a relação entre produto escalar e cosseno do ângulo:
onde
e
são vetores quaisquer,
é o comprimento (norma) de
,
é o comprimento de
e
é o ângulo entre eles. Explicando devagar:
-
é o produto escalar (também chamado de produto interno): dá um número real e mede “quanto” um vetor aponta na direção do outro. - Se
e nenhum dos vetores for o vetor zero, então , logo (são ortogonais).
Na prova, a maneira direta é calculare usar a fórmula acima.
Passo 3
Calculemos o produto escalar
. Usamos a distributividade e a comutatividade do produto escalar:
Como
, os termos do meio se cancelam:
Passo 4
Note que
e
. Portanto
Pelo dado do enunciado temos
. Logo
portanto
Passo 5
Se o produto escalar entre dois vetores é zero, e ambos os vetores são diferentes do vetor zero, então o cosseno do ângulo entre eles é zero, ou seja
. Assim
. Temos de verificar rápido o caso degenerado: se
então
e o ângulo não está definido entre um vetor e o vetor zero; análogamente se
então
. Mas o enunciado é considerado bem-posto para a conclusão padrão, então assumimos que estamos no caso não degenerado (ambos os vetores soma e diferença não são o vetor zero). Nesse caso fica garantido que o ângulo é
.
Passo 6
Conclusão final: quando
e
e
não são o vetor zero, temos
logo os vetores são ortogonais e o ângulo entre eles é
. Você consegue visualizar isso geometricamente também: soma e diferença apontam em direções perpendiculares quando os comprimentos de
e
coincidem.