O produto escalar entre dois vetores
e
é definido por
. Mostre que este produto escalar pode também ser escrito da forma
, onde
é o ângulo entre os vetores e
e
os seus módulos.
Passo 1
O enunciado dá duas coisas claramente: os vetores
e
e a definição do produto escalar
O que nos pedem: mostrar que esse produto escalar pode ser reescrito como
onde
é o ângulo entre os vetores e
e
são os módulos (comprimentos) de
e
. \n
Informações relevantes dadas explicitamente ou a usar: os componentes e a definição componente a componente do produto escalar. Também usaremos as definições de módulo de um vetor e uma relação geométrica (lei dos cossenos) envolvendo o ângulo entre vetores.
Informações relevantes dadas explicitamente ou a usar: os componentes
Passo 2
Definição do módulo (comprimento) de um vetor em coordenadas cartesianas: para
definimos
Explicação: isso vem do teorema de Pitágoras, porque
e
são as projeções ortogonais do vetor no eixo
e
. Analogamente para
:
Vou também usar as notações quadradas
e
para simplificar as contas.
Passo 3
Calcule o quadrado do comprimento do vetor diferença
usando componentes. Primeiro escrevemos
O quadrado do seu módulo é
Agora expandimos termo a termo:
Agrupando:
Usando as notações de módulo e produto escalar componentes,
Esta é uma expressão algébrica que relaciona
com
.
Passo 4
Agora calcule geometricamente
usando o triângulo formado por
,
e
. Imagine os vetores
e
com origem no mesmo ponto (a origem). A diferença
é exatamente o vetor que fecha o triângulo entre as pontas de
e
. Nesse triângulo os comprimentos dos dois lados são
e
e o ângulo entre eles é
(definição do ângulo entre vetores). Pela lei dos cossenos (que é o teorema de Pitágoras generalizado para triângulos quaisquer), temos:
Explicação curta da lei dos cossenos: para um triângulo com lados
e lado oposto ao ângulo
valendo
, vale
. Aqui aplicamos com
,
,
e
.
Passo 5
Agora igualamos as duas expressões para
obtidas nos passos anteriores. Da álgebra (Passo 3) temos
e da geometria (Passo 4) temos
Igualando os dois lados:
Cancelamos
dos dois lados e dividimos por
, obtendo
Observação sobre caso degenerado: se
ou
(um dos vetores é nulo) então ambos os lados da última igualdade valem
, então a fórmula também permanece correta.
Passo 6
Interpretação final e uso prático: a igualdade
diz que o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro:
é a projeção escalar de
na direção de
, multiplicada pelo comprimento de
. A fórmula inversa também é útil para obter o ângulo:
Exemplo rápido para fixar: se
e
, então
, os módulos são
e
, logo
, consistente com a fórmula.