O produto escalar entre dois vetores \mathbf{v}=\left(v_{x}, v_{y}\right) e \mathbf{w}=\left(w_{x}, w_{y}\right) é definido por \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}=v_{x} w_{x}+v_{y} w_{y}. Mostre que este produto escalar pode também ser escrito da forma \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}=v w \cos \theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores e v e w os seus módulos.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas claramente: os vetores \mathbf{v}=(v_{x},v_{y}) e \mathbf{w}=(w_{x},w_{y}) e a definição do produto escalar
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=v_{x}w_{x}+v_{y}w_{y}.
O que nos pedem: mostrar que esse produto escalar pode ser reescrito como
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=v\,w\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores e v e w são os módulos (comprimentos) de \mathbf{v} e \mathbf{w}. \n
Informações relevantes dadas explicitamente ou a usar: os componentes v_{x},v_{y},w_{x},w_{y} e a definição componente a componente do produto escalar. Também usaremos as definições de módulo de um vetor e uma relação geométrica (lei dos cossenos) envolvendo o ângulo entre vetores.

Passo 2

Definição do módulo (comprimento) de um vetor em coordenadas cartesianas: para \mathbf{v}=(v_{x},v_{y}) definimos
v=\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}.
Explicação: isso vem do teorema de Pitágoras, porque v_{x} e v_{y} são as projeções ortogonais do vetor no eixo x e y. Analogamente para \mathbf{w}:
w=\|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_{x}^{2}+w_{y}^{2}}.
Vou também usar as notações quadradas \,v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2} e \,w^{2}=w_{x}^{2}+w_{y}^{2} para simplificar as contas.

Passo 3

Calcule o quadrado do comprimento do vetor diferença \mathbf{v}-\mathbf{w} usando componentes. Primeiro escrevemos
\mathbf{v}-\mathbf{w}=(v_{x}-w_{x},\,v_{y}-w_{y}).
O quadrado do seu módulo é
\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|^{2}=(v_{x}-w_{x})^{2}+(v_{y}-w_{y})^{2}.
Agora expandimos termo a termo:
(v_{x}-w_{x})^{2}+(v_{y}-w_{y})^{2}=v_{x}^{2}-2v_{x}w_{x}+w_{x}^{2}+v_{y}^{2}-2v_{y}w_{y}+w_{y}^{2}.
Agrupando:
\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|^{2}=(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})+(w_{x}^{2}+w_{y}^{2})-2(v_{x}w_{x}+v_{y}w_{y}).
Usando as notações de módulo e produto escalar componentes,
\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|^{2}=v^{2}+w^{2}-2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}).
Esta é uma expressão algébrica que relaciona \|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|^{2} com \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}.

Passo 4

Agora calcule geometricamente \|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|^{2} usando o triângulo formado por \mathbf{v}, \mathbf{w} e \mathbf{v}-\mathbf{w}. Imagine os vetores \mathbf{v} e \mathbf{w} com origem no mesmo ponto (a origem). A diferença \mathbf{v}-\mathbf{w} é exatamente o vetor que fecha o triângulo entre as pontas de \mathbf{v} e \mathbf{w}. Nesse triângulo os comprimentos dos dois lados são v e w e o ângulo entre eles é \theta (definição do ângulo entre vetores). Pela lei dos cossenos (que é o teorema de Pitágoras generalizado para triângulos quaisquer), temos:
\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|^{2}=v^{2}+w^{2}-2vw\cos\theta.
Explicação curta da lei dos cossenos: para um triângulo com lados a,b e lado oposto ao ângulo \gamma valendo c, vale c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma. Aqui aplicamos com a=v, b=w, c=\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\| e \gamma=\theta.

Passo 5

Agora igualamos as duas expressões para \|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|^{2} obtidas nos passos anteriores. Da álgebra (Passo 3) temos
\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|^{2}=v^{2}+w^{2}-2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}),
e da geometria (Passo 4) temos
\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|^{2}=v^{2}+w^{2}-2vw\cos\theta.
Igualando os dois lados:
v^{2}+w^{2}-2(\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})=v^{2}+w^{2}-2vw\cos\theta.
Cancelamos v^{2}+w^{2} dos dois lados e dividimos por -2, obtendo
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=vw\cos\theta.
Observação sobre caso degenerado: se v=0 ou w=0 (um dos vetores é nulo) então ambos os lados da última igualdade valem 0, então a fórmula também permanece correta.

Passo 6

Interpretação final e uso prático: a igualdade
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=vw\cos\theta
diz que o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro: w\cos\theta é a projeção escalar de \mathbf{w} na direção de \mathbf{v}, multiplicada pelo comprimento de \mathbf{v}. A fórmula inversa também é útil para obter o ângulo:
\cos\theta=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{vw}.
Exemplo rápido para fixar: se \mathbf{v}=(1,0) e \mathbf{w}=(\cos\varphi,\sin\varphi), então \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=1\cdot\cos\varphi+0\cdot\sin\varphi=\cos\varphi, os módulos são v=1 e w=1, logo \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=1\cdot1\cdot\cos\varphi, consistente com a fórmula.

Resposta

\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=v\,w\cos\theta

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