Uma bola é lançada verticalmente para baixo com velocidade incial
e a partir de uma altura
. Sabe-se que no local do lançamento o ar oferece resistência ao movimento da bola de tal forma que suas funções horárias da velocidade e da posição
são expressas por
onde
é a aceleração da gravidade local,
é uma constante conhecida associada à resistência do ar e
e
constantes a serem determinadas.
a) Mostre que
e
.
b) Mostre que a velocidade terminal
da partícula (para um tempo muito longo) é dada por
.
c) Que tipo de movimento o resultado do item b sugere para a bola?
d) Use a aproximação
, válida para
e mostre que se
ou
, as expressões para
e
são:
e
.
são expressas por
a) Mostre que
b) Mostre que a velocidade terminal
c) Que tipo de movimento o resultado do item b sugere para a bola?
d) Use a aproximação
Passo 1
O enunciado dá as funções horárias da velocidade e da posição da bola lançada verticalmente para baixo:
As quantidades conhecidas/fornecidas são:
(aceleração da gravidade local),
(constante da resistência do ar), e os parâmetros
e
que devem ser determinados. As condições físicas implícitas são as condições iniciais no instante
: a velocidade inicial é
e a posição inicial (altura de lançamento) é
.
O que o problema pede:
a) Determinar e
mostrando que
e
.
b) Mostrar que a velocidade terminal para é
.
c) Explicar que tipo de movimento esse resultado sugere para a bola.
d) Usando a expansão em série para
, mostrar que para
(ou
) as expressões aproximadas são
e
.
a) Determinar
b) Mostrar que a velocidade terminal para
c) Explicar que tipo de movimento esse resultado sugere para a bola.
d) Usando a expansão em série
Passo 2
Determinar
usando a condição inicial de velocidade. Explicação didática: a condição inicial significa que ao tempo
a velocidade dada pela expressão teórica deve coincidir com a velocidade real inicial
. Para aplicar isso, substituímos
na expressão de
e igualamos a
.
Substituindo
em
obtemos
Como
, isso vira
Pela condição inicial
, temos imediatamente
Interpretação:
é simplesmente a velocidade inicial porque a forma da solução foi construída para que o termo exponencial se anule em
deixando
.
Passo 3
Determinar
usando a condição inicial de posição. Explicação didática: a condição inicial de posição significa que ao tempo
a expressão
deve valer a altura inicial
. Substituímos
na expressão de
.
Substituindo
em
obtemos
Como
e
, o segundo termo e o terceiro termo com
se anulam, restando
Pela condição inicial
, concluímos
Passo 4
Mostrar a velocidade terminal
quando
. Explicação didática: a função exponencial
tende a zero quando
desde que
. Assim, para tempos muito grandes o termo multiplicado por
desaparece e fica apenas a parte constante da expressão de
.
Partindo de
tendo já
, ao tomar o limite
obtemos
Portanto a velocidade terminal é
Comentário físico: a velocidade terminal é negativa indicando que a direção do movimento é para baixo (sinal negativo convencionado para baixo).
Passo 5
Que tipo de movimento o item (b) sugere? Explicação didática: quando a velocidade de um corpo tende a um valor constante para
, isso significa que, após transientes iniciais dissipativos, o corpo passa a se mover com velocidade constante — ou seja, com movimento uniforme (velocidade constante). Aqui, por causa da resistência do ar proporcional à velocidade (modelo implícito pelo termo
que gerou essa solução), a força peso e a força de resistência chegam a um equilíbrio, resultando em velocidade constante descendente. Resumindo: o resultado sugere que a bola, após um tempo suficientemente grande, atinge movimento uniforme para baixo (velocidade constante
).
Passo 6
Preparação para a aproximação quando
ou
. Explicação didática sobre a série de Taylor: a exponencial pode ser expandida em série de potências quando seu argumento é pequeno. Aqui vamos usar
como argumento, e a expansão
é válida para
, ou seja quando
. A hipótese
ou
é equivalente a dizer que os termos contendo potências de
são pequenos e podemos desprezar termos de ordem superior em
. Nosso objetivo é expandir
em potências de
e manter apenas os termos que não desaparecem quando
.
Passo 7
Aplicar a expansão à expressão de
e mostrar que ela tende para
. Começamos escrevendo
com
:
Reescrevendo para facilitar a expansão:
Agora use a expansão
. Substituindo:
Simplificando os parênteses:
Multiplicando o último termo:
Agora observe os ordens em
: os termos
,
,
são todos proporcionais a potências positivas de
e, portanto, quando
(ou
) esses termos tornam-se negligenciáveis frente aos termos constantes/independentes de
. Mantendo apenas os termos de ordem zero em
, ficamos com
Conclusão: no limite
(resistência do ar nula), recuperamos a expressão do movimento uniformemente acelerado pela gravidade sem resistência.
Passo 8
Aplicar a expansão à expressão de
e mostrar que ela tende para
. Começamos com
e
na expressão
Expandimos
usando a série:
Substituímos essa série na expressão de
. Primeiro distribuímos os fatores para organizar termos:
Agora substituímos a série:
Substituindo essas expressões em
:
Agora vemos que os termos
e
se cancelam:
Os termos como
e outros são proporcionais a potências positivas de
e, portanto, quando
(ou
) tornam-se desprezíveis. Mantendo apenas termos de ordem zero em
, obtemos
Conclusão: no limite sem resistência (
) recuperamos a conhecida equação do deslocamento para movimento uniformemente acelerado devido à gravidade.
Passo 9
Breve recapitulação e observação final motivadora: aplicamos condições iniciais para encontrar
e
, usamos limite para encontrar a velocidade terminal e interpretamos fisicamente o resultado (movimento uniforme descendente para tempos longos). Em seguida, usando a expansão em série de
mostramos que, ao anular a resistência do ar (
), as fórmulas retornam às expressões clássicas do MUA (movimento uniformemente acelerado) sem resistência. Isso confirma a consistência física das soluções dadas e dá um caminho prático para recordar o procedimento na prova: aplicar condições iniciais, usar limite e usar expansão em séries quando um parâmetro é pequeno.
Resposta
a)
,
b)
c) Sugere que, para tempos muito grandes, a bola atinge um movimento uniforme para baixo (velocidade constante igual a ).
d)
b)
c) Sugere que, para tempos muito grandes, a bola atinge um movimento uniforme para baixo (velocidade constante igual a
d)