A funç̌̌o f(x)=cos ^2 x+4 sen 2 x tem f^prime(pi4)-f^prime prime(pi4) igual a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de f^prime(pi4) - f^prime prime(pi4) para a função f(x) = cos^2x + 4 sin 2x . Vamos precisar usar derivadas, que é o estudo de como uma função muda à medida que sua entrada muda. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de f(x) , que é f'(x) . A derivada nos mostra a taxa de variação da função.
A função é f(x) = cos^2x + 4 sin 2x . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra básica das derivadas trigonométricas.

Passo 3

Vamos derivar cos^2x . Usamos a regra da cadeia:
ddx[cos^2x] = 2cos x cdot (-sin x) = -2cos x sin x
Agora, vamos derivar 4 sin 2x . Usamos a regra da constante e a derivada de sin u :
ddx[4 sin 2x] = 4 cdot 2 cos 2x = 8 cos 2x
Então, a primeira derivada fica:
f'(x) = -2cos x sin x + 8 cos 2x

Passo 4

Agora, vamos encontrar f'(pi4) . Substituímos x = pi4 na expressão de f'(x) :
f'(pi4) = -2cos(pi4) sin(pi4) + 8 cos(2 cdot pi4)
Simplificando:
f'(pi4) = -2 cdot raiz22 cdot raiz22 + 8 cos(pi2)
f'(pi4) = -2 cdot 24 + 8 cdot 0 = -1 + 0 = -1

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada, f''(x) . Isso significa derivar f'(x) novamente.
A primeira derivada era:
f'(x) = -2cos x sin x + 8 cos 2x
Derivando termo a termo:
Para -2cos x sin x , usamos a regra do produto:
ddx[-2cos x sin x] = -2 ( -sin x sin x + cos x cos x ) = 2sin^2x - 2cos^2x
Para 8 cos 2x , usamos a derivada de cos u :
ddx[8 cos 2x] = -16 sin 2x
Então, a segunda derivada fica:
f''(x) = 2sin^2x - 2cos^2x - 16 sin 2x

Passo 6

Vamos agora calcular f''(pi4) . Substituímos x = pi4 :
f''(pi4) = 2sin^2(pi4) - 2cos^2(pi4) - 16 sin(pi2)
Sabemos que:
sin(pi4) = cos(pi4) = raiz22, sin(pi2) = 1
Substituindo:
f''(pi4) = 2 cdot (raiz22)^2 - 2 cdot (raiz22)^2 - 16 cdot 1 = 2 cdot 24 - 2 cdot 24 - 16 = 1 - 1 - 16 = -16

Resposta

Portanto, f^prime(pi4) - f^prime prime(pi4) = -1 - (-16) = 15 .

Exercícios relacionados