Obtenha a matriz inversa das seguintes matrizes a seguir:
\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 5 & 3 \\\\ 1 & 0 & 8 \end{array}\right] ; B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 4 \\\\ 2 & 4 & -1 \\\\ -1 & 2 & 5 \end{array}\right] ; C=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{array}\right] ; \\\ D=\left[\begin{array}{cccc} 2 & -4 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 12 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & -1 & -4 & -5 \end{array}\right] ; E=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 1 & 5 & -3 \end{array}\right] \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede: obter a matriz inversa de cada uma das matrizes A,B,C,D,E fornecidas ou justificar quando a inversa não existir. As matrizes dadas são (copiado do enunciado):
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 5 & 3 \\\\ 1 & 0 & 8 \end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} 1 & 6 & 4 \\\\ 2 & 4 & -1 \\\\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix},
C=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 0 \\\\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{bmatrix},\quad D=\begin{bmatrix} 2 & -4 & 0 & 0 \\\\ 1 & 2 & 12 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & -1 & -4 & -5 \end{bmatrix},
E=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 1 & 5 & -3 \end{bmatrix}.
O objetivo é, para cada matriz, decidir se é invertível e, se for, calcular a inversa. Todas as informações necessárias para resolver a tarefa estão nas matrizes acima.

Passo 2

Comentário sobre o método que vou usar (sem resolver ainda):
  • Para matrizes 3\times3 (como A e B) é prático usar a fórmula com a adjunta (matriz dos cofatores transposta) e o determinante:
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Vou explicar como calcular determinante, cofatores e a adjunta quando aplicar em A. Se \det=0, a matriz não tem inversa.
  • Para matrizes triangulares (como C, que é triangular inferior), é mais eficiente usar substituição direta: resolver C x = e_j para cada coluna j (forward substitution), porque C é triangular e isso dá rapidamente C^{-1}.
  • Para matrizes gerais 4\times4 onde não há estrutura muito simples (como D e E), a técnica prática é a eliminação de Gauss-Jordan: montar [D\mid I] (ou [E\mid I]) e fazer operações elementares nas linhas até obter [I\mid D^{-1}] (ou [I\mid E^{-1}]). Vou mostrar cada operação e os resultados intermediários para ficar didático.

Passo 3

Cálculo detalhado de A^{-1} (método da adjunta, passo a passo).
  1. Calcular \det(A). Uso expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{bmatrix}5 & 3\\[4pt]0 & 8\end{bmatrix} -2\cdot\det\begin{bmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 8\end{bmatrix} +3\cdot\det\begin{bmatrix}2 & 5\\[4pt]1 & 0\end{bmatrix}.
Agora as determinantes 2\times2:
\det\begin{bmatrix}5 & 3\\\ 0 & 8\end{bmatrix}=5\cdot8-3\cdot0=40,
\det\begin{bmatrix}2 & 3\\\ 1 & 8\end{bmatrix}=2\cdot8-3\cdot1=16-3=13,
\det\begin{bmatrix}2 & 5\\\ 1 & 0\end{bmatrix}=2\cdot0-5\cdot1=-5.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot40-2\cdot13+3\cdot(-5)=40-26-15=-1.
Como \det(A)=-1\neq0, A é invertível.
  1. Calcular a matriz dos cofatores C_{ij}. Para cada posição (i,j), calcule o menor M_{ij} (determinante da submatriz que sobra) e aplique o sinal (-1)^{i+j}.
  • C_{11}=+ \det\begin{bmatrix}5&3\\[4pt]0&8\end{bmatrix}=+40.
  • C_{12}=- \det\begin{bmatrix}2&3\\[4pt]1&8\end{bmatrix}= -13.
  • C_{13}=+ \det\begin{bmatrix}2&5\\[4pt]1&0\end{bmatrix}= -5.
  • C_{21}=- \det\begin{bmatrix}2&3\\[4pt]0&8\end{bmatrix}= -16.
  • C_{22}=+ \det\begin{bmatrix}1&3\\[4pt]1&8\end{bmatrix}= +5.
  • C_{23}=- \det\begin{bmatrix}1&2\\[4pt]1&0\end{bmatrix}= +2.
  • C_{31}=+ \det\begin{bmatrix}2&3\\[4pt]5&3\end{bmatrix}= -9.
  • C_{32}=- \det\begin{bmatrix}1&3\\[4pt]2&3\end{bmatrix}= +3.
  • C_{33}=+ \det\begin{bmatrix}1&2\\[4pt]2&5\end{bmatrix}= +1.
  1. A matriz dos cofatores (antes de transpor) é
\begin{bmatrix} 40 & -13 & -5\\[4pt] -16 & 5 & 2\\[4pt] -9 & 3 & 1 \end{bmatrix}.
A adjunta (adjugate) é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}(A)=\begin{bmatrix} 40 & -16 & -9\\[4pt] -13 & 5 & 3\\[4pt] -5 & 2 & 1 \end{bmatrix}.
  1. Finalmente
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\dfrac{1}{-1}\operatorname{adj}(A)=-\operatorname{adj}(A).
Portanto
A^{-1}=\begin{bmatrix} -40 & 16 & 9\\[4pt] 13 & -5 & -3\\[4pt] 5 & -2 & -1 \end{bmatrix}.]

Passo 4

Análise de B (determinante para testar invertibilidade).
Calculo \det(B) expandindo pela primeira linha:
\det(B)=1\cdot\det\begin{bmatrix}4 & -1\\[4pt]2 & 5\end{bmatrix} -6\cdot\det\begin{bmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 5\end{bmatrix} +4\cdot\det\begin{bmatrix}2 & 4\\[4pt]-1 & 2\end{bmatrix}.
As determinantes 2\times2:
\det\begin{bmatrix}4 & -1\\\ 2 & 5\end{bmatrix}=4\cdot5-(-1)\cdot2=20+2=22,
\det\begin{bmatrix}2 & -1\\\ -1 & 5\end{bmatrix}=2\cdot5-(-1)\cdot(-1)=10-1=9,
\det\begin{bmatrix}2 & 4\\\ -1 & 2\end{bmatrix}=2\cdot2-4\cdot(-1)=4+4=8.
Logo
\det(B)=1\cdot22-6\cdot9+4\cdot8=22-54+32=0.
Como \det(B)=0, a matriz B é singular e não tem inversa. Não existe B^{-1}.]

Passo 5

Cálculo de C^{-1} (matriz triangular inferior — uso de forward substitution).
Explicação do método: se C é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero) e todos os elementos da diagonal são não nulos, então C é invertível e C^{-1} também é triangular inferior. Para obter C^{-1} podemos resolver, para cada coluna j, o sistema
C x^{(j)} = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor canônico (coluna da identidade). Como C é triangular inferior, resolvemos por substituição direta (da primeira equação para a última).
A matriz C tem diagonal (1,3,5,7), todos não-nulos, então é invertível.
Vou resolver coluna a coluna.
Coluna 1: resolver C x^{(1)}=e_1=(1,0,0,0)^T.
As equações (uma por linha) são:
\begin{aligned} 1\cdot x_1 &= 1 \quad\Rightarrow\quad x_1=1,\\[4pt] 1\cdot x_1 + 3\cdot x_2 &= 0 \quad\Rightarrow\quad 1+3x_2=0 \Rightarrow x_2=-\tfrac{1}{3},\\[4pt] 1\cdot x_1 +3\cdot x_2 +5\cdot x_3 &=0 \quad\Rightarrow\quad 1+3(-\tfrac{1}{3})+5x_3=0 \Rightarrow 5x_3=0\Rightarrow x_3=0,\\[4pt] 1\cdot x_1 +3\cdot x_2 +5\cdot x_3 +7\cdot x_4 &=0 \quad\Rightarrow\quad 1+3(-\tfrac{1}{3})+0+7x_4=0\Rightarrow 7x_4=0\Rightarrow x_4=0. \end{aligned}
Então x^{(1)}=\bigl(1,-\tfrac{1}{3},0,0\bigr)^T.
Coluna 2: resolver C x^{(2)}=e_2=(0,1,0,0)^T.
\begin{aligned} x_1&=0,\\[4pt] 1\cdot x_1 +3\cdot x_2 &=1 \Rightarrow 3x_2=1 \Rightarrow x_2=\tfrac{1}{3},\\[4pt] 1\cdot x_1 +3\cdot x_2 +5\cdot x_3 &=0 \Rightarrow 1+5x_3=0 \Rightarrow x_3=-\tfrac{1}{5},\\[4pt] 1\cdot x_1 +3\cdot x_2 +5\cdot x_3 +7\cdot x_4 &=0 \Rightarrow 1+5(-\tfrac{1}{5})+7x_4=0 \Rightarrow 7x_4=0\Rightarrow x_4=0. \end{aligned}
Assim x^{(2)}=\bigl(0,\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{5},0\bigr)^T.
Coluna 3: resolver C x^{(3)}=e_3=(0,0,1,0)^T.
\begin{aligned} x_1&=0,\\[4pt] x_2&=0,\\[4pt] 1\cdot x_1+3\cdot x_2+5\cdot x_3 &=1 \Rightarrow 5x_3=1 \Rightarrow x_3=\tfrac{1}{5},\\[4pt] 1+3\cdot0+5\cdot\tfrac{1}{5}+7x_4 &=0 \Rightarrow 1+7x_4=0 \Rightarrow 7x_4=-1 \Rightarrow x_4=-\tfrac{1}{7}. \end{aligned}
Logo x^{(3)}=\bigl(0,0,\tfrac{1}{5},-\tfrac{1}{7}\bigr)^T.
Coluna 4: resolver C x^{(4)}=e_4=(0,0,0,1)^T.
\begin{aligned} x_1&=0,\\[4pt] x_2&=0,\\[4pt] x_3&=0,\\[4pt] 7x_4&=1 \Rightarrow x_4=\tfrac{1}{7}. \end{aligned}
Portanto x^{(4)}=\bigl(0,0,0,\tfrac{1}{7}\bigr)^T.
Juntando as colunas, obtemos
C^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{7} & \tfrac{1}{7} \end{bmatrix}.]

Passo 6

Cálculo de D^{-1} por eliminação de Gauss-Jordan (operações nas linhas mostradas).
Começo com a matriz aumentada [D\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 2 & -4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 12 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -4 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Vou fazer operações elementares linha a linha (escrevo a operação e o resultado da linha alterada):
  1. R_1\leftarrow \tfrac{1}{2}R_1:
R_1=[1\\\ -2\\\ 0\\\ 0\mid\tfrac{1}{2}\\\ 0\\\ 0\\\ 0].
  1. R_2\leftarrow R_2 - R_1 (elimina entrada (2,1)):
R_2=[0\\\ 4\\\ 12\\\ 0\mid -\tfrac{1}{2}\\\ 1\\\ 0\\\ 0].
  1. Divido R_2 por 4: R_2\leftarrow \tfrac{1}{4}R_2:
R_2=[0\\\ 1\\\ 3\\\ 0\mid -\tfrac{1}{8}\\ \tfrac{1}{4}\\\ 0\\\ 0].
  1. R_1\leftarrow R_1 + 2R_2 (eliminar entrada (1,2)):
R_1=[1\\\ 0\\\ 6\\\ 0\mid \tfrac{1}{4}\\ \tfrac{1}{2}\\\ 0\\\ 0].
  1. R_4\leftarrow R_4 + R_2 (eliminar entrada (4,2)):
R_4=[0\\\ 0\\\ -1\\\ -5\mid -\tfrac{1}{8}\\ \tfrac{1}{4}\\\ 0\\\ 1].
  1. R_3\leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 (pivot em (3,3)):
R_3=[0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\mid 0\\\ 0\\ \tfrac{1}{2}\\\ 0].
  1. Eliminar coluna 3 em outras linhas:
  • R_1\leftarrow R_1 - 6R_3 \Rightarrow R_1=[1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid \tfrac{1}{4}\\ \tfrac{1}{2}\\\ -3\\\ 0].
  • R_2\leftarrow R_2 - 3R_3 \Rightarrow R_2=[0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\mid -\tfrac{1}{8}\\ \tfrac{1}{4}\\\ -\tfrac{3}{2}\\\ 0].
  • R_4\leftarrow R_4 + R_3 \Rightarrow R_4=[0\\\ 0\\\ 0\\\ -5\mid -\tfrac{1}{8}\\ \tfrac{1}{4}\\ \tfrac{1}{2}\\\ 1].
  1. R_4\leftarrow -\tfrac{1}{5}R_4 (normalizar pivot em (4,4)):
R_4=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\mid \tfrac{1}{40}\\\ -\tfrac{1}{20}\\\ -\tfrac{1}{10}\\\ -\tfrac{1}{5}].
Agora a parte esquerda é a identidade, e a parte direita é D^{-1}. Então
D^{-1}=\begin{bmatrix} \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{2} & -3 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] \tfrac{1}{40} & -\tfrac{1}{20} & -\tfrac{1}{10} & -\tfrac{1}{5} \end{bmatrix}.
(Fica claro que conferi a solução testando, por exemplo, D vezes a primeira coluna de D^{-1} e_1.)]

Passo 7

Cálculo de E^{-1} por Gauss-Jordan (detalhado, com trocas de linhas quando necessário).
Matriz aumentada inicial [E\mid I]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 5 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Troco R_1 e R_2 para colocar pivot 1 na posição (1,1):
R_1\leftarrow R_2,\quad R_2\leftarrow R_1.
Agora
R_1=[1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\mid 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0],\quad R_2=[0\\\ 0\\\ 2\\\ 0\mid 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0].
  1. Eliminar entrada (4,1) usando R_4\leftarrow R_4-2R_1:
R_4=[0\\\ 1\\\ 5\\\ -5\mid 0\\\ -2\\\ 0\\\ 1].
  1. Trazer para a linha 2 um pivot na coluna 2 trocando R_2 e R_3:
R_2=[0\\\ -1\\\ 3\\\ 0\mid 0\\\ 0\\\ 1\\\ 0],\quad R_3=[0\\\ 0\\\ 2\\\ 0\mid 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0].
  1. Normalizar R_2 multiplicando por -1: R_2\leftarrow -R_2:
R_2=[0\\\ 1\\\ -3\\\ 0\mid 0\\\ 0\\\ -1\\\ 0].
  1. Eliminar entrada (4,2): R_4\leftarrow R_4 - R_2:
R_4=[0\\\ 0\\\ 8\\\ -5\mid 0\\\ -2\\\ 1\\\ 1].
  1. Normalizar R_3 (pivot em coluna 3): R_3\leftarrow \tfrac{1}{2}R_3:
R_3=[0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\mid \tfrac{1}{2}\\\ 0\\\ 0\\\ 0].
  1. Eliminar coluna 3 nas outras linhas:
  • R_2\leftarrow R_2 + 3R_3 \Rightarrow R_2=[0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\mid \tfrac{3}{2}\\\ 0\\\ -1\\\ 0].
  • R_4\leftarrow R_4 - 8R_3 \Rightarrow R_4=[0\\\ 0\\\ 0\\\ -5\mid -4\\\ -2\\\ 1\\\ 1].
  • R_1 já tem zero na coluna 3.
  1. Normalizar R_4 (pivot em coluna 4): R_4\leftarrow -\tfrac{1}{5}R_4:
R_4=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\mid \tfrac{4}{5}\\ \tfrac{2}{5}\\\ -\tfrac{1}{5}\\\ -\tfrac{1}{5}].
  1. Eliminar entrada (1,4): R_1\leftarrow R_1 - R_4:
R_1=[1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid -\tfrac{4}{5}\\ \tfrac{3}{5}\\ \tfrac{1}{5}\\ \tfrac{1}{5}].
As linhas R_1,R_2,R_3,R_4 agora formam a identidade à esquerda; a parte direita é E^{-1}. Portanto
E^{-1}=\begin{bmatrix} -\tfrac{4}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{3}{2} & 0 & -1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} \end{bmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{bmatrix} -40 & 16 & 9\\[4pt] 13 & -5 & -3\\[4pt] 5 & -2 & -1 \end{bmatrix}
B^{-1}\text{ não existe (}\det(B)=0\text{)}ã
C^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{7} & \tfrac{1}{7} \end{bmatrix}
D^{-1}=\begin{bmatrix} \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{2} & -3 & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{2} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] \tfrac{1}{40} & -\tfrac{1}{20} & -\tfrac{1}{10} & -\tfrac{1}{5} \end{bmatrix}
E^{-1}=\begin{bmatrix} -\tfrac{4}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{3}{2} & 0 & -1 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{4}{5} & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} \end{bmatrix}

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