O enunciado pede: obter a matriz inversa de cada uma das matrizes A,B,C,D,E fornecidas ou justificar quando a inversa não existir. As matrizes dadas são (copiado do enunciado):
O objetivo é, para cada matriz, decidir se é invertível e, se for, calcular a inversa. Todas as informações necessárias para resolver a tarefa estão nas matrizes acima.
Passo 2
Comentário sobre o método que vou usar (sem resolver ainda):
Para matrizes 3\times3 (como A e B) é prático usar a fórmula com a adjunta (matriz dos cofatores transposta) e o determinante:
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Vou explicar como calcular determinante, cofatores e a adjunta quando aplicar em A. Se \det=0, a matriz não tem inversa.
Para matrizes triangulares (como C, que é triangular inferior), é mais eficiente usar substituição direta: resolver C x = e_j para cada coluna j (forward substitution), porque C é triangular e isso dá rapidamente C^{-1}.
Para matrizes gerais 4\times4 onde não há estrutura muito simples (como D e E), a técnica prática é a eliminação de Gauss-Jordan: montar [D\mid I] (ou [E\mid I]) e fazer operações elementares nas linhas até obter [I\mid D^{-1}] (ou [I\mid E^{-1}]). Vou mostrar cada operação e os resultados intermediários para ficar didático.
Passo 3
Cálculo detalhado de A^{-1} (método da adjunta, passo a passo).
Calcular \det(A). Uso expansão pela primeira linha:
Calcular a matriz dos cofatores C_{ij}. Para cada posição (i,j), calcule o menor M_{ij} (determinante da submatriz que sobra) e aplique o sinal (-1)^{i+j}.
Como \det(B)=0, a matriz B é singular e não tem inversa. Não existe B^{-1}.]
Passo 5
Cálculo de C^{-1} (matriz triangular inferior — uso de forward substitution).
Explicação do método: se C é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero) e todos os elementos da diagonal são não nulos, então C é invertível e C^{-1} também é triangular inferior. Para obter C^{-1} podemos resolver, para cada coluna j, o sistema
C x^{(j)} = e_j,
onde e_j é o j-ésimo vetor canônico (coluna da identidade). Como C é triangular inferior, resolvemos por substituição direta (da primeira equação para a última).
A matriz C tem diagonal (1,3,5,7), todos não-nulos, então é invertível.
Vou resolver coluna a coluna.
Coluna 1: resolver C x^{(1)}=e_1=(1,0,0,0)^T.
As equações (uma por linha) são: