Questão 4. Resolva as integrais indefinidas abaixo:
integral tg^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan^3(x),dx
O conteúdo aqui é integração de potências de função trigonométrica. Vamos precisar usar a identidade
tan^2(x)=sec^2(x)-1
para reescrever o integrando e poder separar em termos mais fáceis de integrar.

Passo 2

Usando tan^2(x)=sec^2(x)-1 temos
tan^3(x)=tan(x),tan^2(x)=tan(x)l(sec^2(x)-1r) =tan(x)sec^2(x)-tan(x)
Logo
integral tan^3(x),dx =integral tan(x)sec^2(x),dx -integral tan(x),dx

Passo 3

Para a primeira integral, faça u=tan(x), então du=sec^2(x),dx. Assim,
integral tan(x)sec^2(x),dx =integral u,du =u^22 =tan^2(x)2

Passo 4

Para a segunda integral, lembramos que
integral tan(x),dx =-lnl|cos(x)r|

Passo 5

Juntando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
integral tan^3(x),dx =tan^2(x)2 +lnl|cos(x)r| +C

Resposta

integral tan^3(x),dx =tan^2(x)2 +lnl|cos(x)r| +C

Exercícios relacionados