Qual é o maior valor natural de n para o qual o polinômio f(x)=x^5-2 x^4+x^3-x^2+2 x-1 é divisível por (x-1)^n ?

Passo 1

O exercício pede o maior valor natural de n tal que f(x)=x^5-2x^4+x^3-x^2+2x-1 seja divisível por (x-1)^n. O conteúdo aqui é multiplicidade de raiz em polinômios: precisamos verificar quantas derivadas de f ainda se anulam em x=1.

Passo 2

Primeiro, avaliamos f(1) para ver se x=1 é raiz de ordem pelo menos 1:
f(1)=1-2+1-1+2-1=0
Logo, (x-1) divide f(x).

Passo 3

Agora, calculamos f'(x) e avaliamos em x=1:
f'(x)=5x^4-8x^3+3x^2-2x+2,
f'(1)=5-8+3-2+2=0
Então (x-1)^2 também divide f(x).

Passo 4

Em seguida, a segunda derivada:
f''(x)=20x^3-24x^2+6x-2,
f''(1)=20-24+6-2=0
Portanto (x-1)^3 ainda divide f(x).

Passo 5

Finalmente, a terceira derivada:
f'''(x)=60x^2-48x+6,
f'''(1)=60-48+6=18neq0
Como a terceira derivada em x=1 é não nula, a multiplicidade da raiz x=1 é exatamente 3.

Resposta

3

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