(UFF-RJ) Considere o polinômio:
p(x)=x^4+2 x^3+3 x^2+2 x+2.
a) Verifique se o número complexo i é raiz de p(x).
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x).

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se o número imaginário i é raiz do polinômio p(x)=x^4+2x^3+3x^2+2x+2 e, em seguida, encontrar todas as raízes complexas de p(x). Para isso vamos usar o Teorema do Resto (substituição direta) para checar i, depois divisão de polinômios para fatorar e, por fim, a fórmula de Bhaskara no fator quadrático restante.

Passo 2

Substituindo x=i em p(x):
p(i)=i^4+2i^3+3i^2+2i+2=1-2i-3+2i+2=0 Visto que p(i)=0, concluímos que i é raiz. Como os coeficientes de p(x) são reais, o conjugado -i também é raiz, ou seja, x^2+1 é um fator de p(x).

Passo 3

Dividindo p(x) por x^2+1 obtemos o outro fator quadrático:
x^4+2x^3+3x^2+2x+2x^2+1=x^2+2x+2

Passo 4

Agora resolvemos a equação x^2+2x+2=0 usando Bhaskara:
x=-2pmraiz4-82=-2pmraiz-42=-2pm2i2=-1pm i

Resposta

a) Sim, i é raiz de p(x).
b) As raízes de p(x) são i, -i, -1+i e -1-i.

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