Seja p(x) um polinômio divisível por x - 2. O quociente da divisão de p(x) por x-2 é dividido por x+4 e o resto obtido é zero. Qual é o resto da divisão de p(x) por x^2+2 x-8 ?

Passo 1

Temos um polinômio p(x) tal que p(x) é divisível por x−2 e o quociente dessa divisão, que chamamos de q(x), é divisível por x+4. O conteúdo aqui envolve o Teorema do Resto e fatoração de polinômios para concluir a divisibilidade por um polinômio de grau 2.

Passo 2

Como p(x) é divisível por x−2, pelo Teorema do Resto vale p(2)=0. Consequentemente, podemos escrever
p(x)=(x-2),q(x)
para algum polinômio q(x).
Sabemos também que q(x) é divisível por x+4. Pelo Teorema do Resto isso implica q(-4)=0, e então podemos escrever
q(x)=(x+4),s(x)
para algum polinômio s(x).

Passo 3

Substituindo q(x) em p(x) obtemos
p(x)=(x-2)(x+4),s(x)=l(x^2+2x-8r),s(x)
Isso mostra que p(x) é completamente divisível pelo polinômio x^2+2x−8.

Passo 4

Logo, ao dividirmos p(x) por x^2+2x−8 o resto é zero.

Resposta

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