Um dos maiores perigos de explosões nucleares é a geração do 90 Sr e a sua incorporação nos ossos, substituindo o cálcio. Esse núcleo emite raios
de energia de
e possui um tempo de meia-vida de 28,1 anos. Supondo que
foi
absorvida por uma criança recém-nascida, calcular quanto irá permanecer após (a) 18 anos e (b) 70 anos, considerando que nada foi perdido metabolicamente.
absorvida por uma criança recém-nascida, calcular quanto irá permanecer após (a) 18 anos e (b) 70 anos, considerando que nada foi perdido metabolicamente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir:
- Massa inicial absorvida:
. - Energia dos elétrons
: (informação sobre o tipo de radiação, não necessária para o cálculo pedido). - Tempo de meia-vida (half-life):
. - Suposição: nada foi perdido metabolicamente (ou seja, só há decaimento radioativo físico).
O que se pede:
(a) massa que permanece após anos;
(b) massa que permanece após anos.
(a) massa que permanece após
(b) massa que permanece após
Passo 2
Entender o conceito de meia-vida e a lei do decaimento radioativo (explicação didática e prática).
- A meia-vida
é o tempo necessário para que metade de uma quantidade de núcleos radioativos decaia. Depois de um tempo igual a resta metade da massa; depois de mais um resta um quarto, e assim por diante. - O decaimento segue uma lei exponencial: a fração que permanece depois de um tempo
depende de quantas meias-vidas se passaram. Se passaram meias-vidas, a fração restante é .
Passo 3
Apresentar a fórmula que vamos usar (derivação curta e o que cada símbolo significa).
- Seja
a massa que resta depois de tempo . - Seja
a massa inicial. - Seja
a meia-vida.
A fórmula direta baseada nas meias-vidas é
Aqui
é o número (possivelmente não inteiro) de meias-vidas que se passaram.
Alternativamente, usando a constante de decaimento
(explicação breve):
Ambas as formas são equivalentes; vou usar a forma com
porque é direta quando se dá o
.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso (a):
anos.
- Primeiro calcule o número de meias-vidas:
- Agora a fração que permanece:
- Calcule o expoente:
- Portanto a fração restante é
- Multiplicando pela massa inicial:
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com
):
Passo 5
Aplicar a fórmula ao caso (b):
anos.
- Número de meias-vidas:
- Fração que permanece:
- Calcule o expoente:
- Portanto a fração restante é
- Multiplicando pela massa inicial:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 6
Interpretação curta e ânimo.
- Resultado: após 18 anos ainda fica cerca de 64% da massa inicial; após 70 anos resta cerca de 18% — o decaimento é relativamente lento porque a meia-vida é longa (28,1 anos).
- Boa notícia: você entendeu o passo a passo. No exame, basta lembrar da fórmula
e fazer contas parecidas. Vai dar certo!
Resposta
(a)
(b)
(b)