Um dos maiores perigos de explosões nucleares é a geração do 90 Sr e a sua incorporação nos ossos, substituindo o cálcio. Esse núcleo emite raios \beta de energia de 0,55 \mathrm{MeV} e possui um tempo de meia-vida de 28,1 anos. Supondo que 1,00 \mu \mathrm{~g} foi
absorvida por uma criança recém-nascida, calcular quanto irá permanecer após (a) 18 anos e (b) 70 anos, considerando que nada foi perdido metabolicamente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vem a seguir:
  • Massa inicial absorvida: m_0 = 1{,}00\\ \mu\mathrm{g}.
  • Energia dos elétrons \beta: 0{,}55\\ \mathrm{MeV} (informação sobre o tipo de radiação, não necessária para o cálculo pedido).
  • Tempo de meia-vida (half-life): T_{1/2} = 28{,}1\\ \text{anos}.
  • Suposição: nada foi perdido metabolicamente (ou seja, só há decaimento radioativo físico).
O que se pede:
(a) massa que permanece após 18 anos;
(b) massa que permanece após 70 anos.

Passo 2

Entender o conceito de meia-vida e a lei do decaimento radioativo (explicação didática e prática).
  • A meia-vida T_{1/2} é o tempo necessário para que metade de uma quantidade de núcleos radioativos decaia. Depois de um tempo igual a T_{1/2} resta metade da massa; depois de mais um T_{1/2} resta um quarto, e assim por diante.
  • O decaimento segue uma lei exponencial: a fração que permanece depois de um tempo t depende de quantas meias-vidas se passaram. Se passaram n meias-vidas, a fração restante é \left(\tfrac{1}{2}\right)^n.

Passo 3

Apresentar a fórmula que vamos usar (derivação curta e o que cada símbolo significa).
  • Seja m(t) a massa que resta depois de tempo t.
  • Seja m_0 a massa inicial.
  • Seja T_{1/2} a meia-vida.
A fórmula direta baseada nas meias-vidas é
m(t) = m_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}.
Aqui \dfrac{t}{T_{1/2}} é o número (possivelmente não inteiro) de meias-vidas que se passaram.
Alternativamente, usando a constante de decaimento \lambda (explicação breve):
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}, \qquad m(t) = m_0 e^{-\lambda t}.
Ambas as formas são equivalentes; vou usar a forma com \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} porque é direta quando se dá o T_{1/2}.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso (a): t = 18 anos.
  • Primeiro calcule o número de meias-vidas:
\frac{t}{T_{1/2}}=\frac{18}{28{,}1}=0{,}640568\\ (\text{aprox.}).
  • Agora a fração que permanece:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0{,}640568} = \exp\!\Big(-\ln 2 \cdot 0{,}640568\Big).
  • Calcule o expoente:
\ln 2 \cdot 0{,}640568 \approx 0{,}693147 \times 0{,}640568 \approx 0{,}444673.
  • Portanto a fração restante é
\exp(-0{,}444673) \approx 0{,}6408\\ (\text{aprox.}).
  • Multiplicando pela massa inicial:
m(18) = 1{,}00\\ \mu\mathrm{g} \times 0{,}6408 \approx 0{,}6408\\ \mu\mathrm{g}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com m_0=1{,}00\\ \mu\mathrm{g}):
m(18) \approx 0{,}641\\ \mu\mathrm{g}.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao caso (b): t = 70 anos.
  • Número de meias-vidas:
\frac{t}{T_{1/2}}=\frac{70}{28{,}1}=2{,}491099\\ (\text{aprox.}).
  • Fração que permanece:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2{,}491099} = \exp\!\Big(-\ln 2 \cdot 2{,}491099\Big).
  • Calcule o expoente:
\ln 2 \cdot 2{,}491099 \approx 0{,}693147 \times 2{,}491099 \approx 1{,}7265.
  • Portanto a fração restante é
\exp(-1{,}7265) \approx 0{,}178\\ (\text{aprox.}).
  • Multiplicando pela massa inicial:
m(70) = 1{,}00\\ \mu\mathrm{g} \times 0{,}178 \approx 0{,}178\\ \mu\mathrm{g}.
Arredondando para três algarismos significativos:
m(70) \approx 0{,}178\\ \mu\mathrm{g}.

Passo 6

Interpretação curta e ânimo.
  • Resultado: após 18 anos ainda fica cerca de 64% da massa inicial; após 70 anos resta cerca de 18% — o decaimento é relativamente lento porque a meia-vida é longa (28,1 anos).
  • Boa notícia: você entendeu o passo a passo. No exame, basta lembrar da fórmula m(t)=m_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} e fazer contas parecidas. Vai dar certo!

Resposta

(a) 0{,}641\\ \mu\mathrm{g}
(b) 0{,}178\\ \mu\mathrm{g}

Exercícios relacionados