Quais os 4 maiores valores de comprimento de ondas estacionárias que podem ser estabelecidos em uma corda de 50 cm de comprimento fixa em ambas extremidades? Supondo que a corda esteja tensionada de forma que a velocidade de propagação das ondas na corda seja de 240 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A quais frequências corresponderão estes comprimentos de ondas?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) identificar os 4 maiores comprimentos de onda estacionária que podem ser formados numa corda de comprimento dado com ambas extremidades fixas; (2) calcular as frequências correspondentes a esses comprimentos de onda.
Dados fornecidos:
L=50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m} (comprimento da corda) e velocidade de propagação v=240\\ \mathrm{m/s}.
Objetivo final: encontrar os quatro maiores valores de \lambda e, para cada um, a frequência f.

Passo 2

Entendendo a condição física (explicação didática): numa corda fixa em ambas as extremidades, as extremidades são nós (lugares onde a amplitude deve ser zero). Para uma onda estacionária isso significa que um número inteiro de meios-ossos (metade de uma onda) deve caber exatamente no comprimento da corda. Em palavras: a corda deve conter um número inteiro de “meias-ondas”.
Formalmente, se \lambda é o comprimento de onda e n é um número inteiro positivo que conta quantas meias-ondas cabem, então vale
L = n \cdot \frac{\lambda}{2},
onde n=1,2,3,\dots.
Explicando cada símbolo: L é o comprimento da corda, \lambda é o comprimento de onda que estamos procurando, e n é a ordem do harmônico ( n=1 é o fundamental, n=2 o 2.º harmônico, etc.). A razão é que a distância entre dois nós consecutivos é exatamente \frac{\lambda}{2}.

Passo 3

A partir da relação do passo anterior isolamos \lambda. Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por n, obtemos a fórmula geral dos comprimentos de onda permitidos:
\lambda_n = \frac{2L}{n},\qquad n=1,2,3,\dots
Isso nos dá uma sequência de comprimentos de onda onde \lambda_1 é o maior (fundamental) e os demais decrescem com n.

Passo 4

Agora aplicamos com L=0,50\\ \mathrm{m} e calculamos os 4 maiores comprimentos de onda, que correspondem a n=1,2,3,4:
\lambda_1=\frac{2L}{1}=\frac{2\cdot 0,50}{1}=1,00\\ \mathrm{m},
\lambda_2=\frac{2L}{2}=\frac{2\cdot 0,50}{2}=0,50\\ \mathrm{m},
\lambda_3=\frac{2L}{3}=\frac{1,00}{3}\approx 0,333\ldots\\ \mathrm{m},
\lambda_4=\frac{2L}{4}=\frac{1,00}{4}=0,25\\ \mathrm{m}.
Observação: usei a fórmula direta \lambda_n=2L/n e converti 50\\ \mathrm{cm} em 0,50\\ \mathrm{m} antes de calcular.

Passo 5

Agora vamos relacionar comprimento de onda e frequência. A relação entre velocidade, comprimento de onda e frequência é
v=\lambda f,
onde v é a velocidade de propagação da onda na corda, \lambda o comprimento de onda e f a frequência. Isolando f obtemos
f=\frac{v}{\lambda}.
Substituindo \lambda=\lambda_n=\dfrac{2L}{n} nesta expressão, chega-se à fórmula das frequências dos harmônicos:
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{v}{2L}\,n = n\left(\frac{v}{2L}\right).
Aqui f_n é a frequência do n-ésimo harmônico.

Passo 6

Calculemos as frequências usando v=240\\ \mathrm{m/s} e 2L=1,00\\ \mathrm{m} (pois 2L=2\cdot0,50):
f_n = n\left(\frac{240}{1,00}\right)\\ \mathrm{Hz} = n\cdot 240\\ \mathrm{Hz}.
Então para n=1,2,3,4 obtemos:
f_1 = 1\cdot 240 = 240\\ \mathrm{Hz},
f_2 = 2\cdot 240 = 480\\ \mathrm{Hz},
f_3 = 3\cdot 240 = 720\\ \mathrm{Hz},
f_4 = 4\cdot 240 = 960\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Checagem rápida (intuitiva): os comprimentos de onda decrescem com n e as frequências sobem com n de forma linear — cada harmônico tem frequência múltipla inteira do fundamental f_1. Isso é característico de cordas com ambas extremidades fixas.

Resposta

Comprimentos de onda: \lambda_1=1,00\\ \mathrm{m},\\ \lambda_2=0,50\\ \mathrm{m},\\ \lambda_3\approx 0,333\ldots\\ \mathrm{m},\\ \lambda_4=0,25\\ \mathrm{m}.
Frequências: f_1=240\\ \mathrm{Hz},\\ f_2=480\\ \mathrm{Hz},\\ f_3=720\\ \mathrm{Hz},\\ f_4=960\\ \mathrm{Hz}.

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