Quais os 4 maiores valores de comprimento de ondas estacionárias que podem ser estabelecidos em uma corda de 50 cm de comprimento fixa em ambas extremidades? Supondo que a corda esteja tensionada de forma que a velocidade de propagação das ondas na corda seja de
. A quais frequências corresponderão estes comprimentos de ondas?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) identificar os 4 maiores comprimentos de onda estacionária que podem ser formados numa corda de comprimento dado com ambas extremidades fixas; (2) calcular as frequências correspondentes a esses comprimentos de onda.
Dados fornecidos:
(comprimento da corda) e velocidade de propagação
.
Objetivo final: encontrar os quatro maiores valores de e, para cada um, a frequência
.
Dados fornecidos:
Objetivo final: encontrar os quatro maiores valores de
Passo 2
Entendendo a condição física (explicação didática): numa corda fixa em ambas as extremidades, as extremidades são nós (lugares onde a amplitude deve ser zero). Para uma onda estacionária isso significa que um número inteiro de meios-ossos (metade de uma onda) deve caber exatamente no comprimento da corda. Em palavras: a corda deve conter um número inteiro de “meias-ondas”.
Formalmente, se é o comprimento de onda e
é um número inteiro positivo que conta quantas meias-ondas cabem, então vale
Formalmente, se
onde
.
Explicando cada símbolo: é o comprimento da corda,
é o comprimento de onda que estamos procurando, e
é a ordem do harmônico (
é o fundamental,
o 2.º harmônico, etc.). A razão é que a distância entre dois nós consecutivos é exatamente
.
Explicando cada símbolo:
Passo 3
A partir da relação do passo anterior isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
, obtemos a fórmula geral dos comprimentos de onda permitidos:
Isso nos dá uma sequência de comprimentos de onda onde
é o maior (fundamental) e os demais decrescem com
.
Passo 4
Agora aplicamos com
e calculamos os 4 maiores comprimentos de onda, que correspondem a
:
Observação: usei a fórmula direta
e converti
em
antes de calcular.
Passo 5
Agora vamos relacionar comprimento de onda e frequência. A relação entre velocidade, comprimento de onda e frequência é
onde
é a velocidade de propagação da onda na corda,
o comprimento de onda e
a frequência. Isolando
obtemos
Substituindo
nesta expressão, chega-se à fórmula das frequências dos harmônicos:
Aqui
é a frequência do
-ésimo harmônico.
Passo 6
Calculemos as frequências usando
e
(pois
):
Então para
obtemos:
Passo 7
Checagem rápida (intuitiva): os comprimentos de onda decrescem com
e as frequências sobem com
de forma linear — cada harmônico tem frequência múltipla inteira do fundamental
. Isso é característico de cordas com ambas extremidades fixas.
Resposta
Comprimentos de onda:
Frequências:
Frequências: