Uma maneira de administrar uma dosagem cronometrada dentro do corpo é ingerir uma cápsula e permitir que ela se estabeleça no sistema gastrointestinal. Uma vez dentro do corpo, a cápsula libera lentamente o fármaco para o corpo por um processo limitado por difusão.
Um transporte de fármaco adequado é feito através de uma pequena esfera de um material gelatinoso não tóxico que pode passar pelo sistema gastrointestinal sem se desintegrar. Um medicamento solúvel em água (soluto A ) é uniformemente dissolvido dentro do gel, e tem uma concentração inicial, c_{A o} de 50 \mathrm{mg} / \mathrm{cm}^{3}. O fármaco carregado dentro da cápsula de gel esférica é o sumidouro da transferência de massa. Considere um caso no qual o fármaco é imediatamente consumido ou varrido assim que atinge a superfície, ou seja, @ R, c_{A}=0.
a) Ao analisar o processo, escolha um sistema de coordenadas e simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa do fármaco em termos do fluxo.
b) Quais hipóteses razoáveis foram utilizadas na sua simplificação da equação diferencial geral?
c) Simplifique a equação de Fick para as espécies de fármacos e obtenha uma equação diferencial em termos de concentração, c_{A}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
(a) Escolher um sistema de coordenadas e simplificar a equação diferencial geral para a transferência de massa do fármaco em termos do fluxo.
(b) Explicar quais hipóteses razoáveis foram usadas nessa simplificação.
(c) Usar a Lei de Fick para obter a equação diferencial em termos da concentração c_A.
Dados fornecidos e condições do problema:
A geometria é uma pequena esfera de gel de raio R.
A concentração inicial do fármaco é uniforme dentro da esfera: c_A(r,0)=c_{A0}=50\\ \mathrm{mg/cm^3}.
Na superfície da esfera o fármaco é imediatamente consumido: c_A(R,t)=0.
O fármaco está dissolvido uniformemente inicialmente no gel e o transporte é por difusão.
Não há informação de reações dentro do volume (o sumidouro está na superfície).
Observação: ainda não começamos a resolver; só listei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Escrevendo a lei geral da conservação de massa para a espécie A (princípio da continuidade):
Este é o ponto de partida geral em termos do fluxo \mathbf{j}_A.
Passo 3
Escolha do sistema de coordenadas e simplificação do operador divergente:
A esfera e as condições (concentração inicial uniforme, superfície com condição escoamento simétrico) sugerem simetria radial: a concentração depende apenas da distância radial r do centro, c_A=c_A(r,t). Logo escolhemos coordenadas esféricas e assumimos dependência apenas em r.
Em coordenadas esféricas, para um campo puramente radial \mathbf{j}_A = j_r(r,t)\,\hat{\mathbf{r}}, o divergente é
Isto responde a parte (a): a equação de balanço em coordenadas esféricas com simetria radial escrita em função do fluxo radial j_r.
Passo 4
Lista didática das hipóteses usadas (resposta da parte (b)) e por que são razoáveis:
Simetria radial: c_A depende só de r e t. Razoável porque a cápsula é esférica e a situação inicial/condições de contorno são uniformes na superfície.
Sem convecção dentro do gel: transporte dominado por difusão (não há fluxo de massa advectivo). Razoável para um gel fixo sem movimento interno significativo.
Sem fontes/reações volumétricas internas: \dot{\omega}_A=0. Razoável porque o enunciado indica que o sumidouro é a superfície (fármaco é consumido ao atingir a superfície).
Difusividade escalar e constante: D_A constante no gel (independente de r e c_A). Isto simplifica a equação e é aceitável para concentrações moderadas e material homogêneo.
Condição na superfície é um “sumidouro perfeito”: c_A(R,t)=0 para todo t>0, isto é, qualquer molécula que alcança a superfície é imediatamente removida.
Condição de simetria no centro: pelo comportamento simétrico, o fluxo radial no centro deve ser nulo, j_r(0,t)=0 ou equivalentemente \left.\dfrac{\partial c_A}{\partial r}\right|_{r=0}=0.
Esta é a equação de difusão (equação de calor) em coordenadas esféricas com simetria radial. É a resposta para a parte (c).
Passo 6
Escrevendo também as condições iniciais e de contorno (úteis para resolver o problema posteriormente):
Condição inicial:
c_A(r,0)=c_{A0}=50\\ \mathrm{mg/cm^3},\qquad 0\le r\le R.
Condições de contorno:
c_A(R,t)=0\quad\text{(sumidouro perfeito na superfície),}í
\left.\frac{\partial c_A}{\partial r}\right|_{r=0}=0\quad\text{(simetria no centro).}
Observações finais rápidas: as unidades comuns são c_A em \mathrm{mg/cm^3}, D_A em \mathrm{cm^2/s}, r em \mathrm{cm} e t em \mathrm{s}. Com essa PDE e essas condições você pode prosseguir para métodos de solução (separação de variáveis, séries de autovalores, ou soluções numéricas) dependendo do que o exame exigir.
Resposta
(a) \displaystyle \frac{\partial c_A}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^2 j_r(r,t)\bigr).\n
(b) Hipóteses: simetria radial (c_A=c_A(r,t)); transporte por difusão puro (sem convecção); sem geração volumétrica interna (\dot{\omega}_A=0); difusividade constante (D_A constante); superfície é sumidouro perfeito (c_A(R,t)=0); condição de simetria no centro (j_r(0,t)=0 ou \partial c_A/\partial r|_{r=0}=0); concentração inicial uniforme c_A(r,0)=50\\ \mathrm{mg/cm^3}.\n
(c) \displaystyle \frac{\partial c_A}{\partial t} = D_A \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2 \frac{\partial c_A}{\partial r}\right), com c_A(r,0)=50\\ \mathrm{mg/cm^3}, c_A(R,t)=0 e \left.\dfrac{\partial c_A}{\partial r}\right|_{r=0}=0.