Uma maneira de administrar uma dosagem cronometrada dentro do corpo é ingerir uma cápsula e permitir que ela se estabeleça no sistema gastrointestinal. Uma vez dentro do corpo, a cápsula libera lentamente o fármaco para o corpo por um processo limitado por difusão.
Um transporte de fármaco adequado é feito através de uma pequena esfera de um material gelatinoso não tóxico que pode passar pelo sistema gastrointestinal sem se desintegrar. Um medicamento solúvel em água (soluto A ) é uniformemente dissolvido dentro do gel, e tem uma concentração inicial, c_{A o} de 50 \mathrm{mg} / \mathrm{cm}^{3}. O fármaco carregado dentro da cápsula de gel esférica é o sumidouro da transferência de massa. Considere um caso no qual o fármaco é imediatamente consumido ou varrido assim que atinge a superfície, ou seja, @ R, c_{A}=0.
a) Ao analisar o processo, escolha um sistema de coordenadas e simplifique a equação diferencial geral para a transferência de massa do fármaco em termos do fluxo.
b) Quais hipóteses razoáveis foram utilizadas na sua simplificação da equação diferencial geral?
c) Simplifique a equação de Fick para as espécies de fármacos e obtenha uma equação diferencial em termos de concentração, c_{A}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. (a) Escolher um sistema de coordenadas e simplificar a equação diferencial geral para a transferência de massa do fármaco em termos do fluxo.
  2. (b) Explicar quais hipóteses razoáveis foram usadas nessa simplificação.
  3. (c) Usar a Lei de Fick para obter a equação diferencial em termos da concentração c_A.
Dados fornecidos e condições do problema:
  • A geometria é uma pequena esfera de gel de raio R.
  • A concentração inicial do fármaco é uniforme dentro da esfera: c_A(r,0)=c_{A0}=50\\ \mathrm{mg/cm^3}.
  • Na superfície da esfera o fármaco é imediatamente consumido: c_A(R,t)=0.
  • O fármaco está dissolvido uniformemente inicialmente no gel e o transporte é por difusão.
  • Não há informação de reações dentro do volume (o sumidouro está na superfície).
    Observação: ainda não começamos a resolver; só listei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Escrevendo a lei geral da conservação de massa para a espécie A (princípio da continuidade):
\text{acumulação} = -\nabla\cdot\mathbf{j}_A + \dot{\omega}_Açã
onde:
  • \mathbf{j}_A é o vetor fluxo de massa molar/mais frequentemente flux de massa por difusão (unidades, por exemplo, \mathrm{mg/(cm^2\cdot s)}),
  • \dot{\omega}_A é termo de geração volumétrica (unidade por volume por tempo); aqui dentro do gel não há reação geradora, então \dot{\omega}_A=0,
  • a “acumulação” é a variação temporal da concentração por unidade de volume, isto é \dfrac{\partial c_A}{\partial t} com c_A em \mathrm{mg/cm^3}.
Portanto, no volume da esfera:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{j}_A.
Este é o ponto de partida geral em termos do fluxo \mathbf{j}_A.

Passo 3

Escolha do sistema de coordenadas e simplificação do operador divergente:
  • A esfera e as condições (concentração inicial uniforme, superfície com condição escoamento simétrico) sugerem simetria radial: a concentração depende apenas da distância radial r do centro, c_A=c_A(r,t). Logo escolhemos coordenadas esféricas e assumimos dependência apenas em r.
  • Em coordenadas esféricas, para um campo puramente radial \mathbf{j}_A = j_r(r,t)\,\hat{\mathbf{r}}, o divergente é
\nabla\cdot\mathbf{j}_A = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^2 j_r(r,t)\bigr).
Substituindo na equação de conservação obtém-se a forma simplificada em termos do fluxo radial:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^2 j_r(r,t)\bigr).
Isto responde a parte (a): a equação de balanço em coordenadas esféricas com simetria radial escrita em função do fluxo radial j_r.

Passo 4

Lista didática das hipóteses usadas (resposta da parte (b)) e por que são razoáveis:
  1. Simetria radial: c_A depende só de r e t. Razoável porque a cápsula é esférica e a situação inicial/condições de contorno são uniformes na superfície.
  2. Sem convecção dentro do gel: transporte dominado por difusão (não há fluxo de massa advectivo). Razoável para um gel fixo sem movimento interno significativo.
  3. Sem fontes/reações volumétricas internas: \dot{\omega}_A=0. Razoável porque o enunciado indica que o sumidouro é a superfície (fármaco é consumido ao atingir a superfície).
  4. Difusividade escalar e constante: D_A constante no gel (independente de r e c_A). Isto simplifica a equação e é aceitável para concentrações moderadas e material homogêneo.
  5. Condição na superfície é um “sumidouro perfeito”: c_A(R,t)=0 para todo t>0, isto é, qualquer molécula que alcança a superfície é imediatamente removida.
  6. Condição de simetria no centro: pelo comportamento simétrico, o fluxo radial no centro deve ser nulo, j_r(0,t)=0 ou equivalentemente \left.\dfrac{\partial c_A}{\partial r}\right|_{r=0}=0.
  7. Concentração inicial uniforme: c_A(r,0)=c_{A0}=50\\ \mathrm{mg/cm^3}.
Expliquei cada hipótese e a razão física de aceitá-las para modelar a cápsula gel no trato gastrointestinal.

Passo 5

Introdução da Lei de Fick e conversão para equação em c_A:
  • A Lei de Fick (primeira lei) relaciona fluxo e gradiente de concentração. Para difusão simples e isotrópica:
\mathbf{j}_A = -D_A\,\nabla c_A,
onde D_A é o coeficiente de difusão do fármaco no gel (unidades \mathrm{cm^2/s}). Em simetria radial isso vira
j_r(r,t) = -D_A\,\frac{\partial c_A}{\partial r}(r,t).
  • Substituímos este j_r na equação de balanço obtida no Passo 3:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r^2 \bigl(-D_A\frac{\partial c_A}{\partial r}\bigr)\Bigr).
  • Tirando o sinal:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2 D_A \frac{\partial c_A}{\partial r}\right).
  • Com a hipótese de D_A constante, podemos colocá-lo fora da derivada:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = D_A \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2 \frac{\partial c_A}{\partial r}\right).
Esta é a equação de difusão (equação de calor) em coordenadas esféricas com simetria radial. É a resposta para a parte (c).

Passo 6

Escrevendo também as condições iniciais e de contorno (úteis para resolver o problema posteriormente):
  • Condição inicial:
c_A(r,0)=c_{A0}=50\\ \mathrm{mg/cm^3},\qquad 0\le r\le R.
  • Condições de contorno:
c_A(R,t)=0\quad\text{(sumidouro perfeito na superfície),}í
\left.\frac{\partial c_A}{\partial r}\right|_{r=0}=0\quad\text{(simetria no centro).}
Observações finais rápidas: as unidades comuns são c_A em \mathrm{mg/cm^3}, D_A em \mathrm{cm^2/s}, r em \mathrm{cm} e t em \mathrm{s}. Com essa PDE e essas condições você pode prosseguir para métodos de solução (separação de variáveis, séries de autovalores, ou soluções numéricas) dependendo do que o exame exigir.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial c_A}{\partial t} = -\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\bigl(r^2 j_r(r,t)\bigr).\n
(b) Hipóteses: simetria radial ( c_A=c_A(r,t)); transporte por difusão puro (sem convecção); sem geração volumétrica interna ( \dot{\omega}_A=0); difusividade constante ( D_A constante); superfície é sumidouro perfeito ( c_A(R,t)=0); condição de simetria no centro ( j_r(0,t)=0 ou \partial c_A/\partial r|_{r=0}=0); concentração inicial uniforme c_A(r,0)=50\\ \mathrm{mg/cm^3}.\n
(c) \displaystyle \frac{\partial c_A}{\partial t} = D_A \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2 \frac{\partial c_A}{\partial r}\right), com c_A(r,0)=50\\ \mathrm{mg/cm^3}, c_A(R,t)=0 e \left.\dfrac{\partial c_A}{\partial r}\right|_{r=0}=0.

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