2-85 As viscosidades dinâmicas do dióxido de carbono a 50^{\circ} \mathrm{C} e 200^{\circ} \mathrm{C} são respectivamente 1,612 \times 105 Pa.s e 2,276 \times 105 Pa.s. Determine as constantes a e b da correlação de Sutherland para o dióxido de carbono com pressão atmosférica. Depois calcule a viscosidade do dióxido de carbono a 100^{\circ} \mathrm{C} e compare seus resultados com a tabela A-10. Use recurso computacional se preferir.

Passo 1

O enunciado nos dá duas viscosidades dinâmicas do dióxido de carbono à pressão atmosférica e pede que eu determine as constantes da correlação de Sutherland e calcule a viscosidade a 100^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Temperatura 1: }50^\circ\mathrm{C}\quad\Rightarrow\quad \mu_1 = 1{,}612\times10^{-5}\,\mathrm{Pa\cdot s},\\\ &\text{Temperatura 2: }200^\circ\mathrm{C}\quad\Rightarrow\quad \mu_2 = 2{,}276\times10^{-5}\,\mathrm{Pa\cdot s}. \end{aligned}
O enunciado também pede comparação com a tabela A-10 após calcular a viscosidade a 100^\circ\mathrm{C}. Nota: as temperaturas no enunciado estão em graus Celsius; vou convertê-las para Kelvin quando necessário.

Passo 2

Apresento a correlação de Sutherland que vamos usar e explico o que cada símbolo significa. A forma escolhida é
\mu(T) = a\,\frac{T^{3/2}}{T + b},
onde:
  • \mu(T) é a viscosidade dinâmica à temperatura T (em \mathrm{Pa\cdot s}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}),
  • a e b são constantes do fluido (a determinar).
    Explicação física curta e útil: a dependência \propto T^{3/2} vem de teorias cinéticas para gases, e o termo T+b ajusta a curva experimentalmente; b tem dimensão de temperatura (K) e a tem unidade tal que o lado direito resulte em \mathrm{Pa\cdot s} (especificamente a tem unidade \mathrm{Pa\cdot s\cdot K^{-1/2}}).

Passo 3

Converto as temperaturas dadas para kelvin porque a fórmula exige temperatura absoluta:
\begin{aligned} &T_1 = 50^\circ\mathrm{C} = 50 + 273{,}15 = 323{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &T_2 = 200^\circ\mathrm{C} = 200 + 273{,}15 = 473{,}15\\ \mathrm{K}. \end{aligned}

Passo 4

Escrevo as duas equações de Sutherland para os pontos conhecidos:
\begin{aligned} &\mu_1 = a\,\frac{T_1^{3/2}}{T_1 + b},\\\ &\mu_2 = a\,\frac{T_2^{3/2}}{T_2 + b}. \end{aligned}
Como temos duas equações e duas incógnitas ( a e b), podemos resolver. Uma forma prática é dividir as equações para eliminar a.

Passo 5

Faço a divisão das equações para obter uma expressão que depende só de b:
\frac{\mu_1}{\mu_2} \;=\; \frac{T_1^{3/2}}{T_2^{3/2}}\cdot\frac{T_2 + b}{T_1 + b}.
Reorganizando, defino
R \equiv \frac{\mu_1}{\mu_2}\cdot\frac{T_2^{3/2}}{T_1^{3/2}},
então
R = \frac{T_2 + b}{T_1 + b}.
Resolvo essa equação para b:
\begin{aligned} &R(T_1 + b) = T_2 + b\\\ &\Rightarrow RT_1 + Rb = T_2 + b\\\ &\Rightarrow b(R-1) = T_2 - R T_1\\\ &\Rightarrow b = \frac{T_2 - R T_1}{R - 1}. \end{aligned}

Passo 6

Calculo numericamente os termos intermediários necessários. Primeiro os fatores T^{3/2}:
\begin{aligned} &T_1^{3/2} = 323{,}15^{3/2} \approx 5{,}807{,}652,\\\ &T_2^{3/2} = 473{,}15^{3/2} \approx 10{,}293{,}767. \end{aligned}
Agora calculo R:
\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{1{,}612\times10^{-5}}{2{,}276\times10^{-5}} \approx 0{,}708355,
R = 0{,}708355\cdot\frac{10{,}293{,}767}{5{,}807{,}652}\approx 1{,}25575.
Com isso:
b = \frac{T_2 - R T_1}{R - 1} = \frac{473{,}15 - 1{,}25575\cdot323{,}15}{1{,}25575 - 1}\approx 263{,}36\\ \mathrm{K}.
(Detalhe: arredondei para cinco dígitos significativos nos passos intermediários; resultado final arredondado conforme próximo passo.)

Passo 7

Agora que tenho b, obtenho a usando uma das equações originais, por exemplo a primeira:
a = \mu_1\cdot\frac{T_1 + b}{T_1^{3/2}}.
Substituindo numericamente:
a = 1{,}612\times10^{-5}\cdot\frac{323{,}15 + 263{,}36}{5{,}807{,}652}\approx 1{,}628\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s\cdot K^{-1/2}}.

Passo 8

Com a e b determinados, calculo a viscosidade a 100^\circ\mathrm{C}. Converto a temperatura:
T_3 = 100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculo T_3^{3/2}:
T_3^{3/2} \approx 7{,}220{,}004.
Aplicando Sutherland:
\mu_3 = a\,\frac{T_3^{3/2}}{T_3 + b} = 1{,}628\times10^{-6}\cdot\frac{7{,}220{,}004}{373{,}15 + 263{,}36}\approx 1{,}847\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 9

Comparo com a tabela A-10. Na tabela A-10 (valor típico para CO _2 a 100^\circ\mathrm{C}) a viscosidade é aproximadamente \,1{,}85\times10^{-5}\,\mathrm{Pa\cdot s}. A diferença relativa é muito pequena:
\text{erro relativo} \approx \frac{1{,}847\times10^{-5} - 1{,}85\times10^{-5}}{1{,}85\times10^{-5}}\times100\% \approx -0{,}16\%,
ou seja, concordância excelente entre o ajuste por Sutherland (usando os dois pontos dados) e o valor tabelado.

Resposta

a = 1{,}628\times10^{-6}\\ \mathrm{Pa\cdot s\cdot K^{-1/2}}
b = 263{,}36\\ \mathrm{K}
\mu(100^\circ\mathrm{C}) = 1{,}847\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (diferença ≈ -0{,}16\% em relação à tabela A-10, valor típico 1{,}85\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}).

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