Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial. Associe as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Suponhamos que a mensagem seja “PUXA VIDA”. Usando a correspondência numérica fica:
\mathrm{M}=\left[\begin{array}{ccc}16 & 21 & 24 \\\\ 1 & 0 & 22 \\\\ 9 & 4 & 1\end{array}\right] e seja C uma matriz qualquer 3 \times 3 invertível \mathrm{C}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right].
Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos M \cdot C=\left[\begin{array}{ccc}-22 & 37 & -18 \\\\ -45 & 1 & 22 \\\\ -3 & 13 & -7\end{array}\right].
Transmitimos esta nova matriz M \cdot C. Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C , isto é, fazendo \left((M \cdot C) \cdot C^{-1}\right) e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada de matriz chave para o código.
Supondo que você tenha recebido a matriz M \cdot C=\left[\begin{array}{ccc}11 & 34 & -33 \\\\ 10 & 35 & -30 \\\\ 2 & 17 & -17\end{array}\right] traduza a mensagem.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • O enunciado diz que a mensagem codificada foi transmitida como a matriz
R = M\cdot C = \left[\begin{array}{ccc}11 & 34 & -33 \\[4pt] 10 & 35 & -30 \\[4pt] 2 & 17 & -17\end{array}\right].
  • A matriz chave fornecida é
C=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & -2 \\[4pt] -2 & 0 & 1\end{array}\right].
  • Para decodificar precisamos recuperar M fazendo
M = (M\cdot C)\cdot C^{-1} = R\cdot C^{-1}.
  • Depois de obter M devemos converter cada número em letra usando a correspondência 1\mapsto A,\;2\mapsto B,\;\dots,\;26\mapsto Z. No exemplo do enunciado o valor 0 representou um espaço em branco, então também usaremos 0\mapsto espaço.
  • Objetivo final: calcular C^{-1}, multiplicar R por C^{-1}, obter M e traduzir os números para letras (lendo as linhas de M da esquerda para a direita, de cima para baixo).]

Passo 2

Como calcular a inversa de uma matriz 3\times3 — ideia geral e fórmula que vamos usar.
  • Para inverter uma matriz 3\times3 C usaremos a fórmula
C^{-1}=\frac{1}{\det\text{(C)}}\operatorname{adj}\text{(C)},
onde \det\text{(C)} é o determinante e \operatorname{adj}\text{(C)} é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).
  • Vou calcular \det\text{(C)} com a expansão por elementos da primeira linha:
\det\text{(C)}=c_{11}(c_{22}c_{33}-c_{23}c_{32})-c_{12}(c_{21}c_{33}-c_{23}c_{31})+c_{13}(c_{21}c_{32}-c_{22}c_{31}).
  • Aqui os elementos de C são
c_{11}=-1,\; c_{12}=1,\; c_{13}=0,\; c_{21}=2,\; c_{22}=1,\; c_{23}=-2,\; c_{31}=-2,\; c_{32}=0,\; c_{33}=1.

Passo 3

Cálculo do determinante \det\text{(C)}.
  • Calculemos os menores dentro da fórmula:
c_{22}c_{33}-c_{23}c_{32}=1\cdot1-(-2)\cdot0=1,
c_{21}c_{33}-c_{23}c_{31}=2\cdot1-(-2)\cdot(-2)=2-4=-2,
c_{21}c_{32}-c_{22}c_{31}=2\cdot0-1\cdot(-2)=0+2=2.
  • Substituindo na expressão do determinante:
\det\text{(C)}=(-1)\cdot1 - 1\cdot(-2) + 0\cdot2 = -1 + 2 + 0 = 1.
  • Conclusão: \det\text{(C)}=1. Como o determinante é 1, a inversa será simplesmente a adjunta (a transposta da matriz de cofatores), sem necessidade de divisão adicional.

Passo 4

Cálculo da matriz de cofatores e da adjunta \operatorname{adj}\text{(C)}.
  • O cofator A_{ij} (com sinal) é dado por (-1)^{i+j} vezes o determinante do submatriz que sobra ao eliminar linha i e coluna j.
  • Vou listar os cofatores (cada cálculo com os subdeterminantes):
Cofator A_{11}:
A_{11}=+(c_{22}c_{33}-c_{23}c_{32})=1\cdot1-(-2)\cdot0=1.
Cofator A_{12}:
A_{12}=-(c_{21}c_{33}-c_{23}c_{31})=-(2\cdot1-(-2)\cdot(-2))=-(2-4)=2.
Cofator A_{13}:
A_{13}=+(c_{21}c_{32}-c_{22}c_{31})=2\cdot0-1\cdot(-2)=2.
Cofator A_{21}:
A_{21}=-(c_{12}c_{33}-c_{13}c_{32})=-(1\cdot1-0\cdot0)= -1.
Cofator A_{22}:
A_{22}=+(c_{11}c_{33}-c_{13}c_{31})=-1\cdot1-0\cdot(-2)=-1.
Cofator A_{23}:
A_{23}=-(c_{11}c_{32}-c_{12}c_{31})= -(-1\cdot0-1\cdot(-2))= - (0+2)=-2.
Cofator A_{31}:
A_{31}=+(c_{12}c_{23}-c_{13}c_{22})=1\cdot(-2)-0\cdot1=-2.
Cofator A_{32}:
A_{32}=-(c_{11}c_{23}-c_{13}c_{21})= -(-1\cdot(-2)-0\cdot2)=-(2)= -2.
Cofator A_{33}:
A_{33}=+(c_{11}c_{22}-c_{12}c_{21})=-1\cdot1-1\cdot2=-3.
  • Matriz de cofatores:
\text{cof}\text{(C)}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\[4pt] -1 & -1 & -2 \\[4pt] -2 & -2 & -3\end{array}\right].
  • A adjunta é a transposta dessa matriz:
\operatorname{adj}\text{(C)}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -2 \\[4pt] 2 & -1 & -2 \\[4pt] 2 & -2 & -3\end{array}\right].
  • Como \det\text{(C)}=1, temos
C^{-1}=\operatorname{adj}\text{(C)}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -2 \\[4pt] 2 & -1 & -2 \\[4pt] 2 & -2 & -3\end{array}\right].]

Passo 5

Multiplicação M = R\cdot C^{-1}. Vou multiplicar linha por coluna e mostrar cada produto escalar.
  • Relembrando R e C^{-1}:
R=\left[\begin{array}{ccc}11 & 34 & -33 \\[4pt] 10 & 35 & -30 \\[4pt] 2 & 17 & -17\end{array}\right],\qquad C^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -2 \\[4pt] 2 & -1 & -2 \\[4pt] 2 & -2 & -3\end{array}\right].
  • Vamos calcular elemento a elemento.
Primeira linha de M:
M_{11}=11\cdot1 + 34\cdot2 + (-33)\cdot2 = 11 + 68 -66 = 13,
M_{12}=11\cdot(-1) + 34\cdot(-1) + (-33)\cdot(-2) = -11 -34 +66 = 21,
M_{13}=11\cdot(-2) + 34\cdot(-2) + (-33)\cdot(-3) = -22 -68 +99 = 9.
Segunda linha de M:
M_{21}=10\cdot1 + 35\cdot2 + (-30)\cdot2 = 10 +70 -60 = 20,
M_{22}=10\cdot(-1) + 35\cdot(-1) + (-30)\cdot(-2) = -10 -35 +60 = 15,
M_{23}=10\cdot(-2) + 35\cdot(-2) + (-30)\cdot(-3) = -20 -70 +90 = 0.
Terceira linha de M:
M_{31}=2\cdot1 + 17\cdot2 + (-17)\cdot2 = 2 +34 -34 = 2,
M_{32}=2\cdot(-1) + 17\cdot(-1) + (-17)\cdot(-2) = -2 -17 +34 = 15,
M_{33}=2\cdot(-2) + 17\cdot(-2) + (-17)\cdot(-3) = -4 -34 +51 = 13.
  • Portanto a matriz M decodificada é
M=\left[\begin{array}{ccc}13 & 21 & 9 \\[4pt] 20 & 15 & 0 \\[4pt] 2 & 15 & 13\end{array}\right].]

Passo 6

Transcrição dos números para letras (regra de leitura e interpretação do 0).
  • Lemos a matriz linha por linha, da esquerda para a direita, de cima para baixo.
  • Usando 1\mapsto A,\;2\mapsto B,\;\dots,\;26\mapsto Z e 0\mapsto espaço:
    • Primeira linha \,13,\,21,\,9 corresponde a \,13\mapsto M,\;21\mapsto U,\;9\mapsto I → “MUI”.
    • Segunda linha \,20,\,15,\,0 corresponde a \,20\mapsto T,\;15\mapsto O,\;0\mapsto espaço → "TO ".
    • Terceira linha \,2,\,15,\,13 corresponde a \,2\mapsto B,\;15\mapsto O,\;13\mapsto M → “BOM”.
  • Concatenando as linhas obtemos a mensagem: “MUITO BOM”.

Resposta

MUITO BOM

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