Uma maneira de codificar uma mensagem é através da multiplicação matricial. Associe as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo:
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Suponhamos que a mensagem seja “PUXA VIDA”. Usando a correspondência numérica fica: \mathrm{M}=\left[\begin{array}{ccc}16 & 21 & 24 \\\\ 1 & 0 & 22 \\\\ 9 & 4 & 1\end{array}\right] e seja C uma matriz qualquer 3 \times 3 invertível \mathrm{C}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right].
Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos M \cdot C=\left[\begin{array}{ccc}-22 & 37 & -18 \\\\ -45 & 1 & 22 \\\\ -3 & 13 & -7\end{array}\right].
Transmitimos esta nova matriz M \cdot C. Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C , isto é, fazendo \left((M \cdot C) \cdot C^{-1}\right) e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada de matriz chave para o código.
Supondo que você tenha recebido a matriz M \cdot C=\left[\begin{array}{ccc}11 & 34 & -33 \\\\ 10 & 35 & -30 \\\\ 2 & 17 & -17\end{array}\right] traduza a mensagem.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
O enunciado diz que a mensagem codificada foi transmitida como a matriz
Depois de obter M devemos converter cada número em letra usando a correspondência 1\mapsto A,\;2\mapsto B,\;\dots,\;26\mapsto Z. No exemplo do enunciado o valor 0 representou um espaço em branco, então também usaremos 0\mapsto espaço.
Objetivo final: calcular C^{-1}, multiplicar R por C^{-1}, obter M e traduzir os números para letras (lendo as linhas de M da esquerda para a direita, de cima para baixo).]
Passo 2
Como calcular a inversa de uma matriz 3\times3 — ideia geral e fórmula que vamos usar.
Para inverter uma matriz 3\times3C usaremos a fórmula
Conclusão: \det\text{(C)}=1. Como o determinante é 1, a inversa será simplesmente a adjunta (a transposta da matriz de cofatores), sem necessidade de divisão adicional.
Passo 4
Cálculo da matriz de cofatores e da adjunta \operatorname{adj}\text{(C)}.
O cofator A_{ij} (com sinal) é dado por (-1)^{i+j} vezes o determinante do submatriz que sobra ao eliminar linha i e coluna j.
Vou listar os cofatores (cada cálculo com os subdeterminantes):