Uma maneira concisa para descrever o trabalho de uma força constante \vec{F} sobre uma partícula que se move num sistema de referência tridimensional é através do produto escalar W=\vec{F} \bullet \Delta \vec{r}, onde W representa o trabalho e \Delta \vec{r} representa o vetor deslocamento (dado pela diferença entre o vetor posição final e o vetor posição inicial). Considere a situação na qual \vec{F}=2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}, com unidades no SI. Determine, em Joules, para cada caso abaixo, o trabalho realizado por esta força considerando que a partícula sofre os seguintes deslocamentos:
Vetor posição inicial \vec{r}_{0}=(6 m, 4 m, 5 m) e vetor posição final \vec{r}=(8 m, 6 m, 7 m);

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por uma força constante sobre uma partícula que se desloca de uma posição inicial para uma posição final. As informações dadas são:
\vec{F}=2\hat{i}+5\hat{j}+3\hat{k} (unidades no SI),
\vec{r}_{0}=(6\\ \text{m},\;4\\ \text{m},\;5\\ \text{m}) e
\vec{r}=(8\\ \text{m},\;6\\ \text{m},\;7\\ \text{m}).
A pergunta é: qual é o trabalho W, em Joules, realizado por \vec{F} quando a partícula vai de \vec{r}_{0} para \vec{r}?

Passo 2

Calcular o vetor deslocamento \Delta \vec{r}. Por definição,
\Delta \vec{r} = \vec{r} - \vec{r}_{0}.
Substituindo as componentes:
\Delta \vec{r} = (8-6,\;6-4,\;7-5)\\ \text{m} = (2,\;2,\;2)\\ \text{m}.
Aqui \Delta x=2\\ \text{m}, \Delta y=2\\ \text{m} e \Delta z=2\\ \text{m}.

Passo 3

Explicar a fórmula do trabalho para força constante. O trabalho infinitesimal é dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}. Para uma força constante, integra-se e obtém-se
W=\int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}.
O produto escalar (dot product) entre dois vetores \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \vec{B}=(B_x,B_y,B_z) é
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Aqui A_x é a componente de \vec{A} na direção x, e B_x é a componente de \vec{B} na direção x, etc. No contexto do trabalho, isso combina as componentes da força com as componentes do deslocamento.

Passo 4

Aplicar a fórmula com as componentes dadas. Escrevemos as componentes da força:
\vec{F}=(2,\;5,\;3)\\ \text{N}.
Então
\displaystyle W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{r}=2\cdot 2 + 5\cdot 2 + 3\cdot 2 (cada produto tem unidade N·m = J).
Calcule passo a passo:
2\cdot 2 = 4,
5\cdot 2 = 10,
3\cdot 2 = 6.
Somando: 4+10+6 = 20.

Passo 5

Verificação de unidades e interpretação: cada termo F_i\Delta x_i tem unidade \text{N}\cdot\text{m}=\text{J}. A soma também está em Joules. Portanto o trabalho total realizado pela força constante ao deslocar a partícula do ponto inicial ao final é 20\\ \text{J}. Força e deslocamento apontaram de forma que o trabalho é positivo, indicando que a força realiza energia sobre a partícula (ela “ajuda” o movimento).

Resposta

20\\ \text{J}

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