Utilizando as equações cartesianas (3D) dos vetores
e
, mostre que são válidas as seguintes relações vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial
usando as equações cartesianas (componentes) em 3D dos vetores
.
As informações dadas são: temos três vetores em com componentes cartesianas (por exemplo
, etc.) e devemos provar a igualdade acima para todas as componentes.
As informações dadas são: temos três vetores em
Passo 2
Vamos trabalhar em notação de componentes. Primeiro definimos:
Definições em componentes que usaremos:
onde
é o símbolo de Levi-Civita (também chamado de sinal de permutação):
,
muda de sinal quando permutamos dois índices, e
é zero se algum par de índices se repete. Também usamos o delta de Kronecker
definido por
se
e
caso contrário. Nesta notação, vamos usar a convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam soma sobre
.
Passo 3
Uma identidade padrão e muito útil envolvendo
e
é
Vou justificar rapidamente por que isso vale: o lado esquerdo soma sobre
. Se
e
obtemos 1 (pois há exatamente uma escolha de
que dá
); se índices repetem de modo incompatível ou iguais em posições que tornam uma permutação inválida, o lado esquerdo é zero. O lado direito tem a mesma propriedade de dar 1 quando
e
e dar zero nas outras combinações correspondentes, além de ter o mesmo comportamento antisymétrico nas trocas de
e
. Como ambas as expressões coincidem para todas as combinações de índices (pode-se checar caso a caso), a identidade é verdadeira. Essa identidade é padrão na álgebra tensora em 3D e permite eliminar produtos duplos de
.
Passo 4
Agora calculamos a componente
-ésima do lado esquerdo
. Usando a definição do produto vetorial em componentes:
Substituímos
:
Agora aplicamos a identidade do passo anterior para contrair
:
Substituindo:
Passo 5
Aplique as propriedades do delta de Kronecker para simplificar as somas. Lembre que
(soma sobre
) e
. Fazendo isso termo a termo:
Portanto
Passo 6
A igualdade componente a componente implica a igualdade vetorial inteira. Reescrevendo na forma vetorial:
Essa é a identidade desejada (identidade bac-cab).