Utilizando as equações cartesianas (3D) dos vetores vec{A}, \vec{B}, \vec{C} e vec{D}, mostre que são válidas as seguintes relações vetoriais:
\vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})=(\vec{A} \bullet \vec{C}) \vec{B}-(\vec{A} \bullet \vec{B}) \vec{C}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade vetorial
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}
usando as equações cartesianas (componentes) em 3D dos vetores \vec{A},\vec{B},\vec{C}.
As informações dadas são: temos três vetores em \mathbb{R}^3 com componentes cartesianas (por exemplo \vec{A}=(A_1,A_2,A_3), etc.) e devemos provar a igualdade acima para todas as componentes.

Passo 2

Vamos trabalhar em notação de componentes. Primeiro definimos:
\vec{A}=(A_1,A_2,A_3),\qquad \vec{B}=(B_1,B_2,B_3),\qquad \vec{C}=(C_1,C_2,C_3).
Definições em componentes que usaremos:
\text{produto escalar:}\qquad \vec{A}\cdot\vec{B}=\sum_{r=1}^{3}A_r B_r.
\text{produto vetorial:}\qquad (\vec{X}\times\vec{Y})_i=\varepsilon_{ijk}X_j Y_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (também chamado de sinal de permutação): \varepsilon_{123}=1, \varepsilon muda de sinal quando permutamos dois índices, e \varepsilon é zero se algum par de índices se repete. Também usamos o delta de Kronecker \delta_{ij} definido por \delta_{ij}=1 se i=j e 0 caso contrário. Nesta notação, vamos usar a convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam soma sobre 1,2,3.

Passo 3

Uma identidade padrão e muito útil envolvendo \varepsilon e \delta é
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
Vou justificar rapidamente por que isso vale: o lado esquerdo soma sobre k. Se i=l e j=m obtemos 1 (pois há exatamente uma escolha de k que dá \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{kij}=1); se índices repetem de modo incompatível ou iguais em posições que tornam uma permutação inválida, o lado esquerdo é zero. O lado direito tem a mesma propriedade de dar 1 quando i=l e j=m e dar zero nas outras combinações correspondentes, além de ter o mesmo comportamento antisymétrico nas trocas de l\leftrightarrow m e i\leftrightarrow j. Como ambas as expressões coincidem para todas as combinações de índices (pode-se checar caso a caso), a identidade é verdadeira. Essa identidade é padrão na álgebra tensora em 3D e permite eliminar produtos duplos de \varepsilon.

Passo 4

Agora calculamos a componente i-ésima do lado esquerdo \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}). Usando a definição do produto vetorial em componentes:
\big(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\big)_i=\varepsilon_{ijk}A_j(\vec{B}\times\vec{C})_k.
Substituímos (\vec{B}\times\vec{C})_k=\varepsilon_{klm}B_l C_m:
\big(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\big)_i=\varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{klm}B_l C_m.
Agora aplicamos a identidade do passo anterior para contrair \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}.
Substituindo:
\big(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\big)_i=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})A_j B_l C_m.

Passo 5

Aplique as propriedades do delta de Kronecker para simplificar as somas. Lembre que \delta_{il}B_l=B_i (soma sobre l) e \delta_{jm}A_j C_m=A_j C_j=\vec{A}\cdot\vec{C}. Fazendo isso termo a termo:
(\delta_{il}\delta_{jm})A_j B_l C_m = B_i(\vec{A}\cdot\vec{C}),
(\delta_{im}\delta_{jl})A_j B_l C_m = C_i(\vec{A}\cdot\vec{B}).
Portanto
\big(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})\big)_i = B_i(\vec{A}\cdot\vec{C}) - C_i(\vec{A}\cdot\vec{B}).

Passo 6

A igualdade componente a componente implica a igualdade vetorial inteira. Reescrevendo na forma vetorial:
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}.
Essa é a identidade desejada (identidade bac-cab).

Resposta

\displaystyle \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=(\vec{A}\cdot\vec{C})\vec{B}-(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C}

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