Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é utilizando a derivada. Como proposto por Leibniz, ao realizar a derivada de uma função em um determinado ponto, encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função f(x)=2 x^3-4 x+2 no ponto ( -1,4) :
A) y=-10 x-6.
B) y=2 x-6.
C) y=-10 x-6.
D) y=2 x+6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a reta tangente à função no ponto . Para isso, vamos usar derivadas, que fazem parte do conteúdo de cálculo diferencial. Precisaremos calcular a derivada da função para achar o coeficiente angular da reta tangente e, depois, usar esse coeficiente para determinar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Então, vamos calcular a derivada de f(x) = 2x^3 - 4x + 2 .
A função dada é:
f'(x) = ddx(2x^3) - ddx(4x) + ddx(2)
A derivada de ddx(2x^3) = 6x^2 ddx(4x) = 4 ddx(2) = 0 , denotada por f'(x) = 6x^2 - 4 , é:
Calculando cada termo:
Então, a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor da derivada no ponto f'(-1) = 6(-1)^2 - 4 = 6(1) - 4 = 6 - 4 = 2 . Isso nos dará a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 4

Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto y - 4 = 2(x - (-1)) y - 4 = 2(x + 1) y - 4 = 2x + 2 y = 2x + 2 + 4 y = 2x + 6 , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde e . Substituindo esses valores:

Resposta

A reta tangente é . A alternativa correta é a D).

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