Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é utilizando a derivada. Como proposto por Leibniz, ao realizar a derivada de uma função em um determinado ponto, encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função
no ponto (
:
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
A)
B)
C)
D)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a reta tangente à função
no ponto
. Para isso, vamos usar derivadas, que fazem parte do conteúdo de cálculo diferencial. Precisaremos calcular a derivada da função para achar o coeficiente angular da reta tangente e, depois, usar esse coeficiente para determinar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Então, vamos calcular a derivada de
.
A função dada é:
A derivada de
, denotada por
, é:
Calculando cada termo:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor da derivada no ponto
. Isso nos dará a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação
da reta tangente é 2.
Passo 4
Com a inclinação
e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Onde
e
. Substituindo esses valores:
Resposta
A reta tangente é
. A alternativa correta é a D).