Há uma maneira muito útil de descrever os pontos do intervalo fechado [a, b] (onde assumimos, como de costume, que a ).
(a) Considere primeiro o intervalo [0, b], para b>0. Prove que se x está em [0, b], então x=t b para algum t com 0 <= t <= 1. Qual é o significado do número t ? Qual é o ponto médio do intervalo [0, b] ?
(b) Agora prove que, se x está em [a, b], então x=(1-t) a+t b para algum t com 0 <= t <= 1. (Essa expressão também pode ser escrita como a+t(b-a).) Qual é o ponto médio do intervalo [a, b] ? Qual é o ponto que está a 1 / 3 do caminho de a até b ?
© Prove, reciprocamente, que se 0 <= t <= 1, então (1-t) a+t b está em [a, b].
(d) Os pontos do intervalo aberto (a, b) são aqueles da forma (1-t) a+t b para 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como podemos escrever qualquer ponto de um intervalo fechado como combinação escalar (ou afim) dos seus extremos, começando do caso especial [0,b] com b>0 e depois generalizando para [a,b]. Vamos precisar usar a ideia de razão ou fração para parametrizar o ponto x em função de um parâmetro t entre 0 e 1.

Passo 2

Para o intervalo [0,b], seja x um ponto tal que 0≤x≤b. Definimos
t=xb
Então claramente 0≤t≤1 e multiplicando ambos os lados por b obtemos x=tb. O número t é justamente a fração (ou proporção) de b que localiza o ponto x em [0,b]. O ponto médio corresponde a t=1/2, logo x=(1/2)b=b/2.

Passo 3

Agora para o intervalo [a,b], tome x com a≤x≤b. Observe que x−a varia entre 0 e b−a. Definimos
t=x−ab−a
Então 0≤t≤1 e rearranjando: x=a+t(b−a). Note que isso equivale a escrever x=(1−t)a+tb, que é uma combinação afim de a e b com coeficientes somando 1. Para t=1/2 obtemos o ponto médio x=(a+b)/2. Para t=1/3 obtemos o ponto a+\tfrac{1}{3}(b−a), isto é, o terço do caminho de a até b.

Passo 4

Para a recíproca, comece com 0≤t≤1 e considere y=(1−t)a+tb. Como b−a>0, temos y−a=t(b−a)≥0 e b−y=(1−t)(b−a)≥0. Logo a≤y≤b, isto é, y∈[a,b].

Passo 5

Finalmente, o intervalo aberto (a,b) corresponde exatamente aos mesmos pontos (1−t)a+tb quando t varia estritamente em 0<t<1, já que nos casos t=0 ou t=1 recuperamos exatamente os extremos a ou b.

Resposta

(a) Em [0,b] todo x satisfaz x=tb com t=x/b ∈ [0,1]. O parâmetro t é a fração de b que chega até x. O ponto médio é b/2. (b) Em [a,b] todo x satisfaz x=(1−t)a+tb com t=(x−a)/(b−a) ∈ [0,1]. O ponto médio é (a+b)/2 (t=1/2) e o ponto a um terço do caminho até b é a+\tfrac{1}{3}(b−a) (t=1/3). © Se 0≤t≤1 então (1−t)a+tb ∈ [a,b] pois y−a=t(b−a)≥0 e b−y=(1−t)(b−a)≥0. (d) O intervalo aberto (a,b) corresponde a 0<t<1 na expressão (1−t)a+tb.

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