Há uma maneira muito útil de descrever os pontos do intervalo fechado
(onde assumimos, como de costume, que
).
(a) Considere primeiro o intervalo
, para
. Prove que se
está em
, então
para algum
. Qual é o significado do número
? Qual é o ponto médio do intervalo
?
(b) Agora prove que, se
está em
, então
para algum
com
. (Essa expressão também pode ser escrita como
.) Qual é o ponto médio do intervalo
? Qual é o ponto que está a
do caminho de
até
?
© Prove, reciprocamente, que se
, então
está em
.
(d) Os pontos do intervalo aberto
são aqueles da forma
para
.
(a) Considere primeiro o intervalo
(b) Agora prove que, se
© Prove, reciprocamente, que se
(d) Os pontos do intervalo aberto
Passo 1
O enunciado pede para mostrar como podemos escrever qualquer ponto de um intervalo fechado como combinação escalar (ou afim) dos seus extremos, começando do caso especial [0,b] com b>0 e depois generalizando para [a,b]. Vamos precisar usar a ideia de razão ou fração para parametrizar o ponto x em função de um parâmetro t entre 0 e 1.
Passo 2
Para o intervalo [0,b], seja x um ponto tal que 0≤x≤b. Definimos
Então claramente 0≤t≤1 e multiplicando ambos os lados por b obtemos x=tb. O número t é justamente a fração (ou proporção) de b que localiza o ponto x em [0,b]. O ponto médio corresponde a t=1/2, logo x=(1/2)b=b/2.
Passo 3
Agora para o intervalo [a,b], tome x com a≤x≤b. Observe que x−a varia entre 0 e b−a. Definimos
Então 0≤t≤1 e rearranjando: x=a+t(b−a). Note que isso equivale a escrever x=(1−t)a+tb, que é uma combinação afim de a e b com coeficientes somando 1. Para t=1/2 obtemos o ponto médio x=(a+b)/2. Para t=1/3 obtemos o ponto a+\tfrac{1}{3}(b−a), isto é, o terço do caminho de a até b.
Passo 4
Para a recíproca, comece com 0≤t≤1 e considere y=(1−t)a+tb. Como b−a>0, temos y−a=t(b−a)≥0 e b−y=(1−t)(b−a)≥0. Logo a≤y≤b, isto é, y∈[a,b].
Passo 5
Finalmente, o intervalo aberto (a,b) corresponde exatamente aos mesmos pontos (1−t)a+tb quando t varia estritamente em 0<t<1, já que nos casos t=0 ou t=1 recuperamos exatamente os extremos a ou b.
Resposta
(a) Em [0,b] todo x satisfaz x=tb com t=x/b ∈ [0,1]. O parâmetro t é a fração de b que chega até x. O ponto médio é b/2. (b) Em [a,b] todo x satisfaz x=(1−t)a+tb com t=(x−a)/(b−a) ∈ [0,1]. O ponto médio é (a+b)/2 (t=1/2) e o ponto a um terço do caminho até b é a+\tfrac{1}{3}(b−a) (t=1/3). © Se 0≤t≤1 então (1−t)a+tb ∈ [a,b] pois y−a=t(b−a)≥0 e b−y=(1−t)(b−a)≥0. (d) O intervalo aberto (a,b) corresponde a 0<t<1 na expressão (1−t)a+tb.