Uma mangueira de jardim com um bocal é usada para encher um balde de 20 galões. O diâmetro interno da mangueira é de 4 cm , e ele é reduzido para 0,9 cm na saída do bocal. Se o enchimento do balde leva 60 s, determine:
(b) a velocidade média da água na saída do bocal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encher um balde de 20 galões usando uma mangueira que tem um diâmetro interno de 4 cm e que sai por um bocal com diâmetro de 0,9 cm. O tempo para encher o balde é de 60 segundos. A matéria envolvida aqui é a hidrodinâmica, especificamente a equação da continuidade que relaciona a velocidade e a área de diferentes seções de um fluido em movimento. Precisamos descobrir a velocidade média da água na saída do bocal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da continuidade, que diz que a quantidade de água que entra na mangueira deve ser igual à quantidade que sai pelo bocal. Matematicamente, isso é representado por:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • é a área da seção interna da mangueira
  • é a velocidade da água na mangueira
  • é a área da seção do bocal
  • é a velocidade da água no bocal que queremos encontrar

Passo 3

Vamos calcular a área da seção interna da mangueira ( A = pi times ( d2 )^2 ) e do bocal ( A1 = pi times ( 4,cm2 )^2 = pi times (2,cm)^2 = 4pi,cm² ). A área de um círculo é dada por:
A2 = pi times ( 0,9,cm2 )^2 = pi times (0,45,cm)^2 approx 0,2025pi,cm²
Onde é o diâmetro.
Para a mangueira:
²
Para o bocal:
²

Passo 4

Agora, vamos determinar o volume de água que sai pelo bocal por segundo. Sabemos que 20 galões são convertidos para centímetros cúbicos (já que 1 galão ≈ 3785,41 cm³):
20,galões times 3785,41,cm³/galão approx 75708,2,cm³ õ³ã³
O tempo é de 60 segundos, então a taxa de fluxo ( Q = 75708,2,cm³60,s approx 1261,8,cm³/s ) é:
³³

Passo 5

Com a taxa de fluxo conhecida, podemos usar a equação da continuidade para achar a velocidade no bocal ( v2 = QA2 = 1261,8,cm³/s0,2025pi,cm² approx 1261,80,6362 approx 1981,4,cm/s ):
³²

Resposta

A velocidade média da água na saída do bocal é aproximadamente 1981,4 cm/s.

Exercícios relacionados