Uma mangueira com 2,5 \mathrm{~cm} de diâmetro enche um balde de 30 litros em 1 min. Um bico de seção transversal de 0,5 \mathrm{~cm}^{2} é então conectado à mangueira e esta passa a projetar a água horizontalmente de uma altura de 1 metro. A que distância horizontal a água pode ser projetada?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Diâmetro da mangueira: d=2{,}5\\ \mathrm{cm}.
  • Em 1 minuto a mangueira enche um balde de 30 litros.
  • Depois é conectado um bico cuja área de seção transverse é A_{\text{bico}}=0{,}5\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • A água sai horizontalmente do bico a partir de uma altura h=1\\ \mathrm{m} acima do solo.
  • Pergunta: a que distância horizontal a água é projetada? (ou seja, qual é o alcance horizontal).

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica Q (volume de água por unidade de tempo). Primeiro converto unidades:
  • 30 litros =30{,}000\\ \mathrm{cm^{3}} porque 1\\ \mathrm{L}=1000\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • 1 minuto =60\\ \mathrm{s}.
A vazão é
Q=\frac{\text{volume}}{\text{tempo}}=\frac{30{,}000\\ \mathrm{cm^{3}}}{60\\ \mathrm{s}}=500\\ \mathrm{cm^{3}/s}.
(Em unidades SI isso é 0{,}03\\ \mathrm{m^{3}}/60\\ \mathrm{s}=0{,}0005\\ \mathrm{m^{3}/s}.)

Passo 3

Usar a equação da continuidade para fluido incompressível em regime estacionário: a vazão Q é dada por
Q=A\cdot v,
onde A é a área da seção do bico e v é a velocidade média de saída do jato. Aqui A=A_{\text{bico}}=0{,}5\\ \mathrm{cm^{2}} e Q=500\\ \mathrm{cm^{3}/s}. Assim,
v=\frac{Q}{A}=\frac{500\\ \mathrm{cm^{3}/s}}{0{,}5\\ \mathrm{cm^{2}}}=1000\\ \mathrm{cm/s}.
Convertendo para metros por segundo:
v=1000\\ \mathrm{cm/s}=10\\ \mathrm{m/s}.
Observação didática: a continuidade diz que o volume que entra por segundo na mangueira sai por segundo pelo bico; não importa o diâmetro inicial se não há perda de volume.

Passo 4

Agora tratamos o movimento como um lançamento horizontal de velocidade inicial \,v a partir da altura h. Separando movimentos:
  • Horizontal: velocidade constante v, deslocamento horizontal x=v\,t.
  • Vertical: movimento com aceleração g (para baixo). A equação do deslocamento vertical desde o bico até o solo é
h=\frac{1}{2} g t^{2},
onde t é o tempo de queda e g é a aceleração da gravidade. Resolvo para t:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
Usarei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} e h=1\\ \mathrm{m}, então
t=\sqrt{\frac{2\cdot 1}{9{,}8}}=\sqrt{0{,}2040816\ldots}=0{,}452\\ \mathrm{s}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Calcular o alcance horizontal x. Como x=v\,t e v=10\\ \mathrm{m/s},
x=10\cdot 0{,}452\approx 4{,}52\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comentários finais (assunções e dicas de prova):
  • Assumi fluxo incompressível e estacionário e que todo o volume sai pelo bico (nenhuma perda).
  • Negligenciei resistência do ar e a eventual quebra do jato em gotas; em problemas de prova isso é padrão.
  • No cálculo na prova faça cuidadosamente as conversões de unidades (L → cm^3 ou m^3) e prefira usar a mesma unidade para Q e A ao aplicar v=Q/A.

Resposta

4{,}52\\ \mathrm{m}

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