Um esmeril gira com aceleração angular \alpha=0,35 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} constante. No instante t=0, ele tem velocidade angular \omega_{0}=-4,6 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e uma linha de referência sobre o mesmo está na horizontal, na posição angular \theta_{0}=0.
Em que instante o esmeril pára momentaneamente?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • A aceleração angular é \alpha = 0,35\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
  • No instante inicial t=0 a velocidade angular é \omega_{0} = -4,6\\ \mathrm{rad/s}.
  • A posição angular inicial é \theta_{0}=0 (linha de referência na horizontal).
  • Pergunta: “Em que instante o esmeril pára momentaneamente?” — isto é, quando a velocidade angular se torna zero.
Observação: peguei da imagem que a linha de referência está representada na horizontal (posição angular zero).

Passo 2

Entendendo o que significa “parar momentaneamente” e a equação que vamos usar.
  • “Parar momentaneamente” quer dizer que a velocidade angular \omega(t) atinge \,0\\ \mathrm{rad/s} num certo instante.
  • Para movimento rotacional com aceleração angular constante usamos a equação análoga à cinemática retilínea:
\omega(t)=\omega_{0}+\alpha t.
Aqui:
  • \omega(t) é a velocidade angular no instante t.
  • \omega_{0} é a velocidade angular inicial (aqui -4,6\\ \mathrm{rad/s}).
  • \alpha é a aceleração angular (aqui 0,35\\ \mathrm{rad/s^{2}}).
  • t é o tempo (em segundos) contado a partir de t=0.

Passo 3

Aplicando a condição de “parar momentaneamente”.
  • Impor que \omega(t)=0. Então da equação acima:
0=\omega_{0}+\alpha t.
  • Isolando t:
t=-\dfrac{\omega_{0}}{\alpha}.
Isto é direto: o tempo necessário para a velocidade chegar a zero é a razão entre o negativo da velocidade inicial e a aceleração (se a aceleração tende a reduzir a velocidade).

Passo 4

Substituindo os valores numéricos e fazendo a conta passo a passo (sem calculadora).
  • Substituir \omega_{0}=-4,6 e \alpha=0,35:
t=-\dfrac{-4,6}{0,35}=\dfrac{4,6}{0,35}.
  • Para facilitar a divisão, multiplica-se numerador e denominador por 10:
\dfrac{4,6}{0,35}=\dfrac{46}{3,5}.
  • Multiplica novamente por 10:
\dfrac{46}{3,5}=\dfrac{460}{35}.
  • Simplifica dividindo por 5:
\dfrac{460}{35}=\dfrac{92}{7}.
  • Agora a divisão inteira: 7 cabe 13 vezes em 91, sobra 1, então
\dfrac{92}{7}=13+\dfrac{1}{7}=13,\overline{142857}\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação física e checagem de sinais (por que faz sentido).
  • A velocidade inicial é negativa ( \omega_{0}=-4,6), o que indica rotação em sentido que tomamos negativo (por exemplo, sentido horário).
  • A aceleração angular é positiva ( \alpha=0,35), isto é, atua no sentido oposto ao da velocidade inicial, portanto reduz a velocidade numérica até zerar.
  • Como \alpha é menor em módulo que |\omega_{0}| por segundo, o tempo calculado é positivo: t=\dfrac{4,6}{0,35}>0.
  • Após esse instante o esmeril voltará a girar no sentido oposto (velocidade passa a positiva) se a aceleração contínua permanecer.

Passo 6

Resumo do procedimento que você pode repetir na prova (fórmula e passos rápidos):
  • Use sempre \omega(t)=\omega_{0}+\alpha t.
  • Impõe \omega(t)=0, isola t com t=-\dfrac{\omega_{0}}{\alpha}.
  • Substitui números e calcula com cuidado os sinais.
  • Cheque se o resultado tem sinal físico (tempo deve ser positivo).

Resposta

t=\dfrac{92}{7}\\ \mathrm{s}\approx 13,14\\ \mathrm{s}

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