Um mergulador novato, praticando um uma piscina, inspira ar suficiente do tanque para expandir totaltamente os pulmões antes de abandonar o tanque a uma profundidade L e nadar para a superficie. Ele ignora as instruções e não exala o ar durante a subida. Ao atingir a superficie a diferença entre a pressão externa e a do ar em seus pulmões é de 9,3 \mathrm{kPa}. De qual profundidade ele partiu?

Passo 1

O enunciado pede a profundidade L da qual o mergulhador partiu. As informações relevantes fornecidas são:
  • Ao atingir a superfície, a diferença entre a pressão externa (atmosfera) e a pressão do ar em seus pulmões é \,9,3\\ \mathrm{kPa}\,.
  • O mergulhador inspirou e expandiu totalmente os pulmões antes de abandonar o tanque e não exalou durante a subida (glote fechada).
  • Valores físicos que usaremos: densidade da água \rho \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e aceleração da gravidade g \approx 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Vamos ver qual relação entre pressão e profundidade usamos. Em um fluido em equilíbrio, a pressão absoluta a uma profundidade h abaixo da superfície é dada por
p(h)=p_0+\rho g h,
onde:
  • p(h) é a pressão absoluta a profundidade h,
  • p_0 é a pressão na superfície (pressão atmosférica),
  • \rho é a densidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a profundidade medida verticalmente.
A diferença entre a pressão a profundidade L e a pressão na superfície é, portanto,
\Delta p = p(L)-p_0 = \rho g L.

Passo 3

Agora precisamos relacionar essa diferença \Delta p com a diferença mencionada no enunciado entre a pressão externa e a do ar nos pulmões ao atingir a superfície. Como o mergulhador inspirou completamente ao nível de L, o ar nos pulmões estava em equilíbrio com a pressão ambiente naquele nível, isto é, igual a p(L). Em seguida ele subiu sem exalar e, supondo que os pulmões já estavam na expansão máxima (ou que a glote ficou fechada de modo que a quantidade de ar e o volume pulmonar efetivamente não diminuem durante a subida), a massa de ar dentro dos pulmões permaneceu a mesma e o volume também não mudou de forma significativa; assim, a pressão do ar dentro dos pulmões ao chegar à superfície permanece aproximadamente igual a p(L). A pressão externa na superfície é p_0. Logo, a diferença medida pelo enunciado corresponde a
\Delta p = p(L)-p_0 = \rho g L.
(Resumo da ideia física: a sobrepressão na superfície é igual à pressão adicional que existia no fundo, que é justamente \rho g L.)

Passo 4

Agora substituímos os valores e resolvemos para L. Primeiro escrevemos a fórmula isolando L:
L=\frac{\Delta p}{\rho g}.
Convertendo \Delta p para pascal: \,9,3\\ \mathrm{kPa}=9\,300\\ \mathrm{Pa}. Substituindo:
L=\frac{9\,300}{1000\cdot 9,8}.
Calculando passo a passo:
1000\cdot 9,8 = 9\,800,
L=\frac{9\,300}{9\,800}\approx 0,948979\\ \mathrm{m}.
Arredondando com razoável precisão, obtemos L\approx 0,95\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação e observação rápida: a profundidade obtida é cerca de 0,95\\ \mathrm{m}, ou seja, menos de um metro. Isso mostra que mesmo submergir relativamente pouco e prender a respiração pode gerar uma sobrepressão considerável nos pulmões ao voltar à superfície — por isso é uma instrução essencial exalar durante a subida.

Resposta

L \approx 0,95\\ \mathrm{m}

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