Um objeto cai livremente do alto de um prédio de altura
a partir do repouso. Um observador situado a uma altura
acima do solo marca um intervalo de tempo de
s entre o momento em que o objeto passa por
e o solo. Determine a alternativa correta para: (i) O tempo total (
) gasto pelo objeto desde a altura H até atingir o solo; (ii) A velocidade com que o objeto atinge o solo; (iii) A altura H do prédio. Use
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto que cai de um prédio com altura total
, começando do repouso. Tem um observador a uma altura
acima do chão que marca um intervalo de tempo
entre o momento em que o objeto passa por
e quando atinge o solo. A gente precisa descobrir três coisas:
- O tempo total
que o objeto leva desde o topo do prédio até o chão. - A velocidade com que o objeto bate no chão.
- A altura total
do prédio.
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado, já que a única força atuando é a gravidade (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do objeto. Ele parte do repouso, então sua velocidade inicial
é zero. A posição do objeto em qualquer instante
pode ser descrita pela equação:
Aqui,
é a altura do objeto em relação ao solo no tempo
. Quando o objeto atinge o solo,
, então:
Dessa forma, podemos relacionar a altura total do prédio
com o tempo total de queda
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o momento em que o objeto está a
do chão. Usando a mesma equação de movimento:
Aqui,
é o tempo que o objeto leva para ir de
até o chão, que sabemos ser
. Assim, podemos escrever:
Vamos resolver essa equação para encontrar
em termos de
.
Passo 4
Resolvendo a equação acima:
Então,
Isso nos dá a relação entre
e
. Agora, vamos voltar à equação inicial para encontrar
.
Passo 5
Voltando à equação
e substituindo
por
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que temos
, vamos calcular a velocidade com que o objeto atinge o chão. A velocidade final
pode ser encontrada pela equação:
Como o objeto parte do repouso (
):
Resposta
(i) O tempo total gasto pelo objeto é aproximadamente
.
(ii) A velocidade com que o objeto atinge o solo é aproximadamente
.
(iii) A altura total do prédio é aproximadamente
.