Um objeto cai livremente do alto de um prédio de altura H a partir do repouso. Um observador situado a uma altura H0=35,0 m acima do solo marca um intervalo de tempo de t0=1,6 s entre o momento em que o objeto passa por H0 e o solo. Determine a alternativa correta para: (i) O tempo total ( tq ) gasto pelo objeto desde a altura H até atingir o solo; (ii) A velocidade com que o objeto atinge o solo; (iii) A altura H do prédio. Use g=9,8 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um objeto que cai de um prédio com altura total H, começando do repouso. Tem um observador a uma altura H0 = 35,0,m acima do chão que marca um intervalo de tempo t0 = 1,6,s entre o momento em que o objeto passa por H0 e quando atinge o solo. A gente precisa descobrir três coisas:
  1. O tempo total tq que o objeto leva desde o topo do prédio até o chão.
  2. A velocidade com que o objeto bate no chão.
  3. A altura total H do prédio.
Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado, já que a única força atuando é a gravidade ( g = 9,8,m/s^2).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do objeto. Ele parte do repouso, então sua velocidade inicial v0 é zero. A posição do objeto em qualquer instante t pode ser descrita pela equação:
y(t) = H - 12 g t^2
Aqui, y(t) é a altura do objeto em relação ao solo no tempo t. Quando o objeto atinge o solo, y(t) = 0, então:
0 = H - 12 g tq^2
Dessa forma, podemos relacionar a altura total do prédio H com o tempo total de queda tq.

Passo 3

Agora, vamos considerar o momento em que o objeto está a H0 = 35,0,m do chão. Usando a mesma equação de movimento:
35,0 = H - 12 g (tq - t0)^2
Aqui, tq - t0 é o tempo que o objeto leva para ir de H0 até o chão, que sabemos ser 1,6,s. Assim, podemos escrever:
35,0 = H - 12 times 9,8 times (1,6)^2
Vamos resolver essa equação para encontrar H em termos de tq.

Passo 4

Resolvendo a equação acima:
35,0 = H - 12 times 9,8 times 2,56
35,0 = H - 12,544
Então,
H = 35,0 + 12,544 = 47,544,m
Isso nos dá a relação entre H e tq. Agora, vamos voltar à equação inicial para encontrar tq.

Passo 5

Voltando à equação 0 = H - 12 g tq^2 e substituindo H por 47,544,m:
0 = 47,544 - 12 times 9,8 times tq^2
Resolvendo para tq:
12 times 9,8 times tq^2 = 47,544
4,9 times tq^2 = 47,544
tq^2 = 47,5444,9 approx 9,72
tq approx raiz9,72 approx 3,12,s

Passo 6

Agora que temos tq approx 3,12,s, vamos calcular a velocidade com que o objeto atinge o chão. A velocidade final v pode ser encontrada pela equação:
v = v0 + g tq
Como o objeto parte do repouso ( v0 = 0):
v = 0 + 9,8 times 3,12 approx 30,6,m/s

Resposta

(i) O tempo total gasto pelo objeto é aproximadamente tq = 3,12,s.
(ii) A velocidade com que o objeto atinge o solo é aproximadamente 30,6,m/s.
(iii) A altura total do prédio é aproximadamente H = 47,544,m.

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