Manodo arco duplo calcule sen 18^{\circ} \cos 72^{\circ}
Passo 1
O enunciado pede para calcular \sin 18^\circ \cos 72^\circ.\n\nInformações dadas que serão úteis: \n- Os ângulos numéricos são 18^\circ e 72^\circ.\n- Podemos usar identidades trigonométricas (produzir passo a passo).\n- Não há outras informações externas; só os ângulos acima.
Passo 2
Observe uma relação simples entre \cos 72^\circ e \sin 18^\circ.\n\nUsamos a identidade fundamental de co-funções: para qualquer x vale \cos(90^\circ - x) = \sin x. Tomando x=18^\circ temos
Para transformar \sin^2 18^\circ em algo com \cos de ângulo duplo usamos a identidade de ângulo duplo para seno ao quadrado:\n\nA identidade é
\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}.
Essa identidade vem de \cos 2x = 1-2\sin^2 x (fórmula padrão do cosseno de ângulo duplo), rearranjando-se obtém-se a forma acima.\n\nAplicando com x=18^\circ,
\sin^2 18^\circ = \frac{1-\cos 36^\circ}{2}.
Portanto agora precisamos do valor exato de \cos 36^\circ.
Passo 4
Vamos encontrar \cos 36^\circ. Defina c=\cos 36^\circ. Usaremos a identidade de ângulo múltiplo para \cos 5\theta:
Essa é uma identidade algébrica conhecida (pode ser obtida por fórmulas de múltiplos ângulos ou por expansão usando fórmula de De Moivre). Aqui tomamos \theta=36^\circ, então 5\theta=180^\circ e \cos 180^\circ=-1. Substituindo c=\cos36^\circ obtém-se
16c^5 -20c^3 +5c = -1.
Rearranjando:
16c^5 -20c^3 +5c +1 = 0.
Passo 5
Agora fatoramos o polinômio 16c^5 -20c^3 +5c +1\). Suponha que ele tenha um fator quadrático do tipo \(4c^2-2c-1\) (essa é uma escolha que funcionará; vamos justificar por coeficientes). Escrevemos
\[16c^5 -20c^3 +5c +1 = (4c^2-2c-1)(Ac^3+Bc^2+Cc+D).
Vamos determinar A,B,C,D comparando coeficientes.\n\nMultiplicando os fatores:
Portanto uma solução para a equação é obtida resolvendo 4c^2-2c-1=0 (a outra cúbica dá raízes que não correspondem a \cos36^\circ real e positivo neste caso).]
Passo 6
Resolva a quadrática 4c^2-2c-1=0. Aplicando fórmula de Bhaskara: