Manodo arco duplo calcule sen 18^{\circ} \cos 72^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \sin 18^\circ \cos 72^\circ.\n\nInformações dadas que serão úteis: \n- Os ângulos numéricos são 18^\circ e 72^\circ.\n- Podemos usar identidades trigonométricas (produzir passo a passo).\n- Não há outras informações externas; só os ângulos acima.

Passo 2

Observe uma relação simples entre \cos 72^\circ e \sin 18^\circ.\n\nUsamos a identidade fundamental de co-funções: para qualquer x vale \cos(90^\circ - x) = \sin x. Tomando x=18^\circ temos
\cos 72^\circ = \cos(90^\circ-18^\circ)=\sin 18^\circ.
Logo o produto pedido vira
\sin 18^\circ \cos 72^\circ = \sin 18^\circ \cdot \sin 18^\circ = \sin^2 18^\circ.

Passo 3

Para transformar \sin^2 18^\circ em algo com \cos de ângulo duplo usamos a identidade de ângulo duplo para seno ao quadrado:\n\nA identidade é
\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}.
Essa identidade vem de \cos 2x = 1-2\sin^2 x (fórmula padrão do cosseno de ângulo duplo), rearranjando-se obtém-se a forma acima.\n\nAplicando com x=18^\circ,
\sin^2 18^\circ = \frac{1-\cos 36^\circ}{2}.
Portanto agora precisamos do valor exato de \cos 36^\circ.

Passo 4

Vamos encontrar \cos 36^\circ. Defina c=\cos 36^\circ. Usaremos a identidade de ângulo múltiplo para \cos 5\theta:
\cos 5\theta = 16\cos^5\theta -20\cos^3\theta +5\cos\theta.
Essa é uma identidade algébrica conhecida (pode ser obtida por fórmulas de múltiplos ângulos ou por expansão usando fórmula de De Moivre). Aqui tomamos \theta=36^\circ, então 5\theta=180^\circ e \cos 180^\circ=-1. Substituindo c=\cos36^\circ obtém-se
16c^5 -20c^3 +5c = -1.
Rearranjando:
16c^5 -20c^3 +5c +1 = 0.

Passo 5

Agora fatoramos o polinômio 16c^5 -20c^3 +5c +1\). Suponha que ele tenha um fator quadrático do tipo \(4c^2-2c-1\) (essa é uma escolha que funcionará; vamos justificar por coeficientes). Escrevemos \[16c^5 -20c^3 +5c +1 = (4c^2-2c-1)(Ac^3+Bc^2+Cc+D).
Vamos determinar A,B,C,D comparando coeficientes.\n\nMultiplicando os fatores:
(4c^2-2c-1)(Ac^3+Bc^2+Cc+D)=16c^5+(4B-8)c^4+(4C-2B-4)c^3+(4D-2C-B)c^2+(-2D-C)c+(-D).
Igualando aos coeficientes do polinômio original (onde os termos em c^4 e c^2 são zero), obtemos o sistema:
\begin{cases} 16 \text{ (já dá }A=4\text{)},\\[4pt] 4B-8=0,\\[4pt] 4C-2B-4=-20,\\[4pt] 4D-2C-B=0,\\[4pt] -2D-C=5,\\[4pt] -D=1. \end{cases}áá
Da última equação D=-1\]. Da primeira \(A=4. Da segunda B=2. Substituindo B=2 na terceira:
4C-2\cdot 2-4=-20 \implies 4C-8=-20 \implies C=-3.
Verificando a quarta e quinta equações com B=2, C=-3, D=-1 confirmam-se os valores.\n\nLogo a fatoração é válida e temos
16c^5 -20c^3 +5c +1 = (4c^2-2c-1)(4c^3+2c^2-3c-1).
Portanto uma solução para a equação é obtida resolvendo 4c^2-2c-1=0 (a outra cúbica dá raízes que não correspondem a \cos36^\circ real e positivo neste caso).]

Passo 6

Resolva a quadrática 4c^2-2c-1=0. Aplicando fórmula de Bhaskara:
c=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot4\cdot(-1)}}{2\cdot4} =\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{8} =\frac{2\pm\sqrt{20}}{8} =\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{8} =\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}.
Escolhemos o sinal positivo porque \cos 36^\circ é positivo ( \cos 36^\circ\approx0,809\dots). Assim
\cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4}.

Passo 7

Voltemos a \sin^2 18^\circ = \dfrac{1-\cos 36^\circ}{2} e substituamos o valor encontrado:
\sin^2 18^\circ = \frac{1-\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}}{2} = \frac{\dfrac{4-(1+\sqrt{5})}{4}}{2} = \frac{\dfrac{3-\sqrt{5}}{4}}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{8}.
Portanto o produto original vale \dfrac{3-\sqrt{5}}{8}.

Resposta

\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}

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