Manoel e Carla decidiram ter cinco filhos. Qual a probabilidade de terem 2 meninas e 3 meninos?

Passo 1

Resumo do enunciado: Manoel e Carla vão ter 5 filhos e a gente quer saber a probabilidade de, exatamente, 2 meninas e 3 meninos.
Conteúdo: probabilidade binomial (distribuição binomial), que serve pra contar a chance de “sucessos” (aqui, meninas) em n ensaios independentes (aqui, cada filho).
O que vamos precisar:
  • Entender que cada filho é um ensaio independente com p(menina) = tfrac12.
  • Usar coeficientes binomiais binomnk para contar as combinações de posições dessas meninas.
  • Aplicar a fórmula da probabilidade binomial.

Passo 2

Definindo parâmetros:
  • Número total de filhos (ensaios): n = 5.
  • Número de meninas (sucessos) que queremos: k = 2.
  • Probabilidade de ter menina em cada filho: p = tfrac12.
  • Probabilidade de ter menino: 1 - p = tfrac12.
    Cada filho é independente, então podemos usar a distribuição binomial.

Passo 3

Fórmula da probabilidade binomial:
P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
Explicando:
  • binomnk conta de quantas maneiras podemos escolher quais são os k filhos que serão meninas entre os n.
  • p^k é a chance de, nessas k posições, todas darem certo (meninas).
  • (1-p)^,n-k é a chance de os outros n-k ensaios serem “fracassos” (meninos).

Passo 4

Aplicando os valores:
P(X=2) ;=; binom52,l(tfrac12r)^2,l(tfrac12r)^5-2 ;=;binom52,l(tfrac12r)^5
Agora, o coeficiente:
binom52 ;=; 5!2!(5-2)! ;=; 5times4times3!2times1times3! ;=; 202 ;=; 10

Passo 5

Substituindo binom52=10 e (tfrac12)^5 = tfrac132:
P(X=2) ;=; 10 times 132 ;=; 1032 ;=; 516

Resposta

A probabilidade de terem exatamente 2 meninas e 3 meninos é 516,.

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