1. Um manômetro de tubo aberto com mercúrio tem um de seus lados conectado a um reservatório com um gás de pressão P. O outro lado do tubo continua aberto e sujeito a pressão atmosférica P_{0}. Qual seria a diferença de altura h medida entre os níveis de mercúrio dos dois lados do tubo como na figura se a pressão P=4,0 P_{0} ? Use g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \rho_{\mathrm{Hg}}= 13,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e P_{0}=1 \mathrm{~atm}=1,01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a diferença de altura h entre os níveis de mercúrio nos dois braços do manômetro quando a pressão do gás no reservatório é P=4,0\,P_{0}.
Informações fornecidas (dados do enunciado):
  • A pressão atmosférica é P_{0}=1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • A pressão do gás é P=4,0\,P_{0}.
  • A aceleração da gravidade é g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • A densidade do mercúrio é \rho_{\mathrm{Hg}}=13,6\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
O que vamos usar (mais à frente): a relação de pressão hidrostática e a igualdade de pressão em um mesmo nível dentro do mesmo fluido.

Passo 2

Entendendo o princípio físico — pressão hidrostática (aula rápida e amigável).
  • Em um fluido em repouso, a pressão aumenta com a profundidade segundo a fórmula display abaixo, que é básica e muito usada em provas:
p=p_{\text{superfície}}+\rho g\,\Delta hí
onde:
  • p é a pressão num ponto situado a uma profundidade \Delta h abaixo da superfície do fluido;
  • p_{\text{superfície}}í é a pressão na superfície do fluido (por exemplo, a pressão do gás ou da atmosfera);
  • \rho é a densidade do fluido (aqui: mercúrio);
  • g é a aceleração da gravidade;
  • \Delta h é a diferença vertical entre a superfície e o ponto onde se calcula p.
Explicação intuitiva: se você desce um pouco no interior do mercúrio, o peso do mercúrio acima aumenta a pressão; e essa pressão aumenta linearmente com a profundidade, proporcional a \rho g.

Passo 3

Estratégia do manômetro (como aplicar a ideia na prova):
  • Escolhe-se um mesmo ponto (mesmo nível horizontal) dentro do mercúrio em ambos os ramos do U (por exemplo, um ponto baixo onde as duas colunas de mercúrio conectam — qualquer nível comum serve).
  • A pressão nesse ponto, sendo o mesmo fluido contínuo, precisa ser a mesma vindo de ambos os lados.
  • Escreve-se a pressão no ponto vista a partir da superfície esquerda e a partir da superfície direita usando a fórmula hidrostática e iguala-se as duas expressões.
Seja h a diferença vertical entre as superfícies livres de mercúrio (nivel do braço direito menos nível do braço esquerdo). Então, ao descer do lado direito desde a superfície (pressão P_{0}) até o ponto escolhido, a profundidade é maior em h do que ao descer do lado esquerdo (desde a superfície com pressão P). Ao igualar as pressões no ponto comum obtemos a relação simples (mostro o passo algébrico abaixo).

Passo 4

Escrever as pressões e igualar (desenvolvimento algébrico detalhado):
  • Pressão no ponto vindo do lado esquerdo (superfície com pressão P):
p_{\text{ponto}} = P + \rho g\,d
onde d é a distância vertical do nível esquerdo até o ponto (valor comum).
  • Pressão no ponto vindo do lado direito (superfície com pressão P_{0}):
p_{\text{ponto}} = P_{0} + \rho g\,(d+h)
onde d+h é a distância vertical do nível direito até o mesmo ponto (note o acréscimo h).
Igualando as duas expressões (já que é o mesmo ponto):
P + \rho g\,d = P_{0} + \rho g\,(d+h).
Agora cancelamos \rho g\,d dos dois lados (porque aparece igual) e obtemos a relação que liga diretamente h e as pressões:
P = P_{0} + \rho g\,h.
Isolando h:
h=\frac{P-P_{0}}{\rho g}.
Comentário didático: essa fórmula é muito usada em provas de manômetros abertos — a diferença de altura corresponde ao excesso de pressão do gás em relação à atmosfera dividido por \rho g. Fácil de memorizar: pressão extra = \rho g h.

Passo 5

Preparar os valores numéricos (conversões e substituições, passo a passo):
  • Primeiro calcule P-P_{0}. Como P=4,0\,P_{0}, temos:
P-P_{0}=(4,0\,P_{0})-P_{0}=3,0\,P_{0}.
  • Substituindo P_{0}=1,01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
P-P_{0}=3,0\times(1,01\times10^{5})=3,03\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter a densidade do mercúrio para unidades SI:
\rho_{\mathrm{Hg}}=13,6\\ \mathrm{g/cm^{3}}=13,6\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}=13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • O valor de g já está em SI: g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Calcular h com as contas detalhadas (sem pular etapas):
  • Usando
h=\frac{P-P_{0}}{\rho g},
substitui-se os números:
h=\frac{3,03\times10^{5}}{13600\times9,81}\\ \mathrm{m}.
  • Calcule o denominador:
13600\times9,81=133416\\ (\text{unidade: }\mathrm{kg/(m^{2}s^{2})} \text{ que dá m em resultado}).á
  • Agora a divisão:
h=\frac{303000}{133416}\\ \mathrm{m}\approx2,2727\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para uma prova (duas casas decimais é suficiente): h\approx2,27\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação curta e checagem de consistência (motivação para a prova):
  • O valor é razoável: mercúrio é muito denso, então mesmo um excesso de pressão de cerca de 3{,}03\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} produz apenas alguns metros de coluna — o resultado na ordem de 2\\ \mathrm{m} faz sentido.
  • Para lembrar rápido na prova: se P-P_{0} cresce, h cresce linearmente; se a densidade fosse menor (ex.: água) a mesma diferença de pressão geraria uma coluna muito maior.

Resposta

h\approx2,27\\ \mathrm{m}

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