- Um manômetro de tubo aberto com mercúrio tem um de seus lados conectado a um reservatório com um gás de pressão
. O outro lado do tubo continua aberto e sujeito a pressão atmosférica
. Qual seria a diferença de altura
medida entre os níveis de mercúrio dos dois lados do tubo como na figura se a pressão
? Use
e
.
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular a diferença de altura
entre os níveis de mercúrio nos dois braços do manômetro quando a pressão do gás no reservatório é .
Informações fornecidas (dados do enunciado):
- A pressão atmosférica é
. - A pressão do gás é
. - A aceleração da gravidade é
. - A densidade do mercúrio é
.
O que vamos usar (mais à frente): a relação de pressão hidrostática e a igualdade de pressão em um mesmo nível dentro do mesmo fluido.
Passo 2
Entendendo o princípio físico — pressão hidrostática (aula rápida e amigável).
- Em um fluido em repouso, a pressão aumenta com a profundidade segundo a fórmula display abaixo, que é básica e muito usada em provas:
onde:
-
é a pressão num ponto situado a uma profundidade abaixo da superfície do fluido; -
é a pressão na superfície do fluido (por exemplo, a pressão do gás ou da atmosfera); -
é a densidade do fluido (aqui: mercúrio); -
é a aceleração da gravidade; -
é a diferença vertical entre a superfície e o ponto onde se calcula .
Explicação intuitiva: se você desce um pouco no interior do mercúrio, o peso do mercúrio acima aumenta a pressão; e essa pressão aumenta linearmente com a profundidade, proporcional a
.
Passo 3
Estratégia do manômetro (como aplicar a ideia na prova):
- Escolhe-se um mesmo ponto (mesmo nível horizontal) dentro do mercúrio em ambos os ramos do U (por exemplo, um ponto baixo onde as duas colunas de mercúrio conectam — qualquer nível comum serve).
- A pressão nesse ponto, sendo o mesmo fluido contínuo, precisa ser a mesma vindo de ambos os lados.
- Escreve-se a pressão no ponto vista a partir da superfície esquerda e a partir da superfície direita usando a fórmula hidrostática e iguala-se as duas expressões.
Seja
a diferença vertical entre as superfícies livres de mercúrio (nivel do braço direito menos nível do braço esquerdo). Então, ao descer do lado direito desde a superfície (pressão
) até o ponto escolhido, a profundidade é maior em
do que ao descer do lado esquerdo (desde a superfície com pressão
). Ao igualar as pressões no ponto comum obtemos a relação simples (mostro o passo algébrico abaixo).
Passo 4
Escrever as pressões e igualar (desenvolvimento algébrico detalhado):
- Pressão no ponto vindo do lado esquerdo (superfície com pressão
):
onde
é a distância vertical do nível esquerdo até o ponto (valor comum).
- Pressão no ponto vindo do lado direito (superfície com pressão
):
onde
é a distância vertical do nível direito até o mesmo ponto (note o acréscimo
).
Igualando as duas expressões (já que é o mesmo ponto):
Agora cancelamos
dos dois lados (porque aparece igual) e obtemos a relação que liga diretamente
e as pressões:
Isolando
:
Comentário didático: essa fórmula é muito usada em provas de manômetros abertos — a diferença de altura corresponde ao excesso de pressão do gás em relação à atmosfera dividido por
. Fácil de memorizar: pressão extra =
.
Passo 5
Preparar os valores numéricos (conversões e substituições, passo a passo):
- Primeiro calcule
. Como , temos:
- Substituindo
:
- Converter a densidade do mercúrio para unidades SI:
- O valor de
já está em SI: .
Passo 6
Calcular
com as contas detalhadas (sem pular etapas):
- Usando
substitui-se os números:
- Calcule o denominador:
- Agora a divisão:
Arredondando de forma prática para uma prova (duas casas decimais é suficiente):
.
Passo 7
Interpretação curta e checagem de consistência (motivação para a prova):
- O valor é razoável: mercúrio é muito denso, então mesmo um excesso de pressão de cerca de
produz apenas alguns metros de coluna — o resultado na ordem de faz sentido. - Para lembrar rápido na prova: se
cresce, cresce linearmente; se a densidade fosse menor (ex.: água) a mesma diferença de pressão geraria uma coluna muito maior.