1. O pistão grande de um macaco hidráulico tem 30 cm de diâmetro. Que força deve ser aplicada ao pistão pequeno, de 6 cm de diâmetro, para elevar uma massa ( m=1500 \mathrm{~kg} ), que inclui a massa do carro mais a plataforma que o sustenta?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado (e a figura) dão e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro do pistão grande: D=30\\ \text{cm};
    • diâmetro do pistão pequeno: d=6\\ \text{cm};
    • massa que deve ser elevada: m=1500\\ \text{kg}.
  • O que se pede:
    • achar a força aplicada no pistão pequeno (força de entrada) necessária para elevar a massa m.

Passo 2

Entender a ideia física: princípio de Pascal e relação pressão-força.
  • Em um fluido incompressível em equilíbrio, qualquer variação de pressão aplicada em um ponto é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido (princípio de Pascal). Isso implica que a pressão sob os dois pistões é a mesma quando o sistema está sustentando a carga estática.
  • Definição de pressão: a pressão é a força por unidade de área. Matematicamente, p=\frac{F}{A},onde:
    • p é a pressão (em \text{N}/\text{m}^2),
    • F é a força normal aplicada sobre a superfície (em \text{N}),
    • A é a área da superfície que recebe a força (em \text{m}^2).

Passo 3

Aplicar a igualdade de pressões entre os pistões e expressar as forças.
  • Seja F_{\text{pequeno}} a força que aplicamos no pistão pequeno e F_{\text{grande}} a força exercida pelo pistão grande sobre a massa. A pressão abaixo dos dois pistões é a mesma: \frac{F_{\text{pequeno}}}{A_{\text{pequeno}}}=\frac{F_{\text{grande}}}{A_{\text{grande}}}.
  • A força que o pistão grande precisa suportar é o peso da massa: F_{\text{grande}}=W=mg,onde g é a aceleração da gravidade. Vou usar g=9{,}8\\ \text{m}/\text{s}^2.

Passo 4

Expressar as áreas dos pistões em termos dos diâmetros.
  • A área de um pistão circular é A=\pi r^2, com r raio. Como r=d/2, a área pode ser escrita em função do diâmetro d como A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\frac{\pi d^2}{4}.
  • Portanto a razão entre as áreas é simplesmente o quadrado da razão entre os diâmetros: \frac{A_{\text{pequeno}}}{A_{\text{grande}}}=\frac{\pi d^2/4}{\pi D^2/4}=\left(\frac{d}{D}\right)^2.

Passo 5

Substituir na igualdade de pressões para obter F_{\text{pequeno}}.
  • Da igualdade de pressões: F_{\text{pequeno}} = F_{\text{grande}}\cdot\frac{A_{\text{pequeno}}}{A_{\text{grande}}}=mg\left(\frac{d}{D}\right)^2.
  • Agora substituo os valores dados. Primeiro converto diâmetros para metros: d=6\\ \text{cm}=0,06\\ \text{m},\qquad D=30\\ \text{cm}=0,30\\ \text{m}.
  • A razão dos diâmetros é \frac{d}{D}=\frac{0,06}{0,30}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}=0{,}2,portanto \left(\frac{d}{D}\right)^2=0{,}2^2=0{,}04.

Passo 6

Calcular o peso e a força necessária no pistão pequeno.
  • Peso da massa: W=mg=1500\cdot 9{,}8=14700\\ \text{N}.
  • Força aplicada no pistão pequeno: F_{\text{pequeno}}=14700\cdot 0{,}04.

Passo 7

Fazer a multiplicação final (conta simples).
  • Multiplicando: F_{\text{pequeno}}=14700\times 0{,}04=588\\ \text{N}.

Resposta

\;588\\ \text{N}

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