- O pistão grande de um macaco hidráulico tem 30 cm de diâmetro. Que força deve ser aplicada ao pistão pequeno, de 6 cm de diâmetro, para elevar uma massa (
), que inclui a massa do carro mais a plataforma que o sustenta?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado (e a figura) dão e o que é pedido.
- Dados fornecidos:
- diâmetro do pistão grande:
; - diâmetro do pistão pequeno:
; - massa que deve ser elevada:
.
- diâmetro do pistão grande:
- O que se pede:
- achar a força aplicada no pistão pequeno (força de entrada) necessária para elevar a massa
.
- achar a força aplicada no pistão pequeno (força de entrada) necessária para elevar a massa
Passo 2
Entender a ideia física: princípio de Pascal e relação pressão-força.
- Em um fluido incompressível em equilíbrio, qualquer variação de pressão aplicada em um ponto é transmitida integralmente a todos os pontos do fluido (princípio de Pascal). Isso implica que a pressão sob os dois pistões é a mesma quando o sistema está sustentando a carga estática.
- Definição de pressão: a pressão é a força por unidade de área. Matematicamente,
onde: -
é a pressão (em ), -
é a força normal aplicada sobre a superfície (em ), -
é a área da superfície que recebe a força (em ).
-
Passo 3
Aplicar a igualdade de pressões entre os pistões e expressar as forças.
- Seja
a força que aplicamos no pistão pequeno e a força exercida pelo pistão grande sobre a massa. A pressão abaixo dos dois pistões é a mesma: - A força que o pistão grande precisa suportar é o peso da massa:
onde é a aceleração da gravidade. Vou usar .
Passo 4
Expressar as áreas dos pistões em termos dos diâmetros.
- A área de um pistão circular é
, com raio. Como , a área pode ser escrita em função do diâmetro como - Portanto a razão entre as áreas é simplesmente o quadrado da razão entre os diâmetros:
Passo 5
Substituir na igualdade de pressões para obter
.
- Da igualdade de pressões:
- Agora substituo os valores dados. Primeiro converto diâmetros para metros:
- A razão dos diâmetros é
portanto
Passo 6
Calcular o peso e a força necessária no pistão pequeno.
- Peso da massa:
- Força aplicada no pistão pequeno:
Passo 7
Fazer a multiplicação final (conta simples).
- Multiplicando: