1. A que temperatura os átomos de hélio têm a mesma velocidade r m s que os do hidrogênio a 20^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pergunta: “A que temperatura os átomos de hélio têm a mesma velocidade rms que os do hidrogênio a 20^\circ\mathrm{C}?”
  • Informação dada: temperatura dos átomos de hidrogênio T_H = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Informação necessária que vamos usar (presumida no enunciado): trata-se de átomos (não de moléculas), então as massas atômicas relativas são m_H para hidrogênio e m_{\mathrm{He}} para hélio, com relação aproximadamente m_{\mathrm{He}} = 4\,m_H.
  • O objetivo final é encontrar a temperatura do hélio T_{\mathrm{He}} tal que a velocidade rms de He em T_{\mathrm{He}} seja igual à velocidade rms de H em T_H.

Passo 2

Fórmula que usamos e significado das letras (aulas rápidas):
  • A velocidade rms (root-mean-square) de partículas de um gás ideal é dada por
v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}},
onde:
  • v_{\rm rms} é a velocidade quadrática média (rms);
  • k_B é a constante de Boltzmann (uma constante universal que liga temperatura a energia por partícula);
  • T é a temperatura absoluta em kelvin;
  • m é a massa da partícula (a massa de uma única partícula, não a massa molar).
  • Observação prática: para comparação entre dois tipos de átomos podemos usar essa fórmula e igualar as velocidades rms; k_B cancela na comparação, então não precisamos do seu valor numérico.

Passo 3

Montando a equação de igualdade de velocidades rms:
  • Queremos
v_{\rm rms}(\mathrm{He},T_{\mathrm{He}})=v_{\rm rms}(H,T_H).
  • Substituindo a fórmula:
\sqrt{\frac{3k_B T_{\mathrm{He}}}{m_{\mathrm{He}}}}=\sqrt{\frac{3k_B T_H}{m_H}}.
  • Quadrando ambos os lados e cancelando 3k_B, obtemos
\frac{T_{\mathrm{He}}}{m_{\mathrm{He}}}=\frac{T_H}{m_H}.
  • Isolando T_{\mathrm{He}}:
T_{\mathrm{He}}=\frac{m_{\mathrm{He}}}{m_H}\,T_H.

Passo 4

Usando a relação de massas e convertendo a temperatura dada para kelvin:
  • Relação de massas (átomos): m_{\mathrm{He}} \approx 4\,m_H. Logo
T_{\mathrm{He}}=4\,T_H.
  • Converter 20^\circ\mathrm{C} para kelvin:
T_H=20^\circ\mathrm{C}=20+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo numérico e conversão final para graus Celsius:
  • Calcular T_{\mathrm{He}}:
T_{\mathrm{He}}=4\cdot293{,}15=1172{,}6\\ \mathrm{K}.
  • Converter para graus Celsius:
T_{\mathrm{He}}(^\circ\mathrm{C})=1172{,}6-273{,}15=899{,}45^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{\mathrm{He}}=1172{,}6\\ \mathrm{K}
T_{\mathrm{He}}=899{,}45^\circ\mathrm{C}

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