Uma manta fina de aquecimento elétrico dissipa 100 W / m^2. Sobre sua face esquerda tem 2 cm de madeira macia, seguida de uma placa de vidro de 2 mm de espessura exposta ao ar a 60^circ C com um coeficiente convectivo h=25 W / m^2 K. Sobre a face direita da manta aquecedora tem uma camada de ar de 1 mm , seguida de uma chapa fina de aço de 1 mm que está exposta a um escoamento de água a 200 kPa e 100^circ C com um h = 50 W / m^2 K. A geometria é toda plana e o regime é permanente. Determine a temperatura da manta e as taxas de fluxo de calor ( W / m^2 ) para a direita e para a esquerda da manta.

Passo 1

Beleza, resumo rapidinho: temos uma manta elétrica que gera fluxos de calor de q″_ger = 100 W/m² no regime permanente. De um lado (esquerdo) ela encosta numa placa de 2 cm de madeira macia, depois 2 mm de vidro, e depois troca calor por convecção com o ar a 60 °C, com h₁ = 25 W/m²K. Do outro lado (direito) há 1 mm de ar, 1 mm de aço fino (k_steel), e convecção com água a 100 °C, h₂ = 50 W/m²K. Tudo é plano (área considerada 1 m²). O que a gente vai precisar?
  • Valores típicos de condutividade térmica:
    • madeira macia: k₁ ≈ 0,15 W/mK
    • vidro: k₂ ≈ 1,0 W/mK
    • ar (condução): k₃ ≈ 0,026 W/mK
    • aço fino: k₄ ≈ 45 W/mK
  • Fórmulas de resistência térmica em série:
    R_cond = L/(k·A) e R_conv = 1/(h·A).
  • Balanço de energia na manta: q′′_esq + q′′_dir = q″_ger.

Passo 2

Vamos montar as resistências por metro quadrado (A=1 m²):
  1. Lado esquerdo:
    R_cond,1 = 0,02 m / (0,15 W/mK) = 0,133 K/W
    R_cond,2 = 0,002 m / (1,0 W/mK) = 0,002 K/W
    R_conv,esq = 1/(25 W/m²K) = 0,040 K/W
    → R_esq = R_cond,1 + R_cond,2 + R_conv,esq = 0,133 + 0,002 + 0,040 = 0,175 K/W
  2. Lado direito:
    R_cond,3 = 0,001 m / (0,026 W/mK) = 0,0385 K/W
    R_cond,4 = 0,001 m / (45 W/mK) = 0,00002 K/W
    R_conv,dir = 1/(50 W/m²K) = 0,020 K/W
    → R_dir = 0,0385 + 0,00002 + 0,020 = 0,0585 K/W

Passo 3

Agora a gente chama de T_m a temperatura uniforme da manta. Os fluxos de calor que saem da manta são:
q′′_esq = (T_m – 60 °C) / R_esq
q′′_dir = (T_m – 100 °C) / R_dir
E o balanço de energia (tudo em W/m²) é
q′′_esq + q′′_dir = 100

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
(T_m – 60)/0.175 + (T_m – 100)/0.0585 = 100
Calcula-se:
5.714·(T_m – 60) + 17.09·(T_m – 100) = 100
5.714 T_m – 342.86 + 17.09 T_m – 1 709 = 100
(5.714 + 17.09) T_m = 100 + 2 051.86
22.804 T_m = 2 151.86
T_m ≈ 94,4 °C

Passo 5

Com T_m conhecido, temos os fluxos:
q′′_esq = (94,4 – 60)/0.175 = 34,4/0.175 ≈ 196,6 W/m²
q′′_dir = (94,4 – 100)/0.0585 = –5,6/0.0585 ≈ –95,7 W/m²
O sinal “–” em q′′_dir indica que, nesse lado, na verdade o calor entra na manta (vindo da água) em vez de sair.

Resposta

Temperatura da manta:
T_m ≈ 94,4 °C
Taxas de fluxo de calor (positivas saindo da manta):
q″_esq ≈ +196,6 W/m²
q″_dir ≈ –95,7 W/m² (isto é, 95,7 W/m² entram na manta pelo lado direito)

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