(Mantenha as notações do exemplo 2.2.21.) Supondo desprezível a resistência do ar e constante a aceleração
da gravidade, seja
, em relação ao referencial plano indicado abaixo.
Se
e
, então
é a equação da posição de um projétil no plano-xy, lançado da origem com velocidade
. Seja
o ângulo entre
e o
-eixo, e
. Temos
e
. Donde
Se
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado):
- A aceleração é constante e vertical para baixo:
, com . - A posição inicial é
. - A velocidade inicial é
, com e . - Definições trigonométricas:
, é o ângulo entre e o eixo , de modo que e . - A equação paramétrica do projétil já dada é
As perguntas que vou responder (estou inferindo as questões naturais associadas a esse enunciado):
(a) Determinar a equação da trajetória como em função de
(eliminar
e mostrar que é uma parábola).
(b) Determinar o tempo de voo até o projétil voltar ao solo ( , excluindo
).
(c) Calcular o alcance horizontal .
(d) Determinar a altura máxima e o instante
em que ela ocorre, e a coordenada
nesse instante.
(e) Encontrar o ângulo que maximiza o alcance
.
(a) Determinar a equação da trajetória como
(b) Determinar o tempo de voo até o projétil voltar ao solo (
(c) Calcular o alcance horizontal
(d) Determinar a altura máxima
(e) Encontrar o ângulo
Passo 2
Encontrar a equação da trajetória
(eliminar
).
- Da coordenada
temos:
Isolando
,
- Substituindo em
, obtemos:
- Simplificando usando
, fica
Comentário didático curto: aqui eliminamos o tempo porque o movimento horizontal é uniforme (
cresce linearmente com
), enquanto a componente vertical é uniformemente variada; ao substituir
em função de
vemos que
é um polinômio quadrático em
, ou seja, uma parábola.
Passo 3
Determinar o tempo de voo (solução não nula de
).
- A coordenada vertical como função do tempo é
- Colocando em evidência
:
- As soluções de
são (lançamento) e a outra dada por
Esse segundo valor é o tempo de voo até o projétil retornar ao nível
.
Passo 4
Calcular o alcance horizontal
.
- O alcance é
avaliado no tempo de voo :
- Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma clássica:
Didática: essa fórmula mostra que o alcance depende de
, ou seja, depende de
— ângulos complementares
e
dão o mesmo alcance.
Passo 5
Determinar a altura máxima
e o instante
e a posição horizontal correspondente
.
- A componente vertical da velocidade é
No ponto mais alto a velocidade vertical zera:
. Assim
- Substituindo em
para obter :
- A coordenada horizontal no ponto mais alto é
Observação útil: comparando com o alcance,
. Ou seja, o ponto mais alto ocorre no meio da trajetória horizontal.
Passo 6
Determinar o ângulo
que maximiza o alcance
.
- Da expressão
, com e fixos, maximizar equivale a maximizar . A função seno atinge seu máximo igual a quando , isto é, (ou radianos). - Portanto o alcance máximo é
Comentário motivador: em provas, é comum lembrar a forma
e deduzir rapidamente que
dá o máximo, sem necessidade de derivadas.