Suponha que um alvo se desloca com velocidade escalar constante v>0 ao longo da circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2}, partindo de ( a, 0 ) no sentido anti-horário. Ao mesmo tempo, um míssil, também com velocidade escalar v, persegue o alvo, partindo do centro C=(0,0), mantendo-se sempre entre o centro e o alvo.
(a) Seja A(t) a posição do alvo no tempo t \geq 0. Mostre que A(t)=(a \cos \omega t, a \operatorname{sen} \omega t), \omega=v / a;
(b) Observando que e a posição do míssil é dada por M(t)=\lambda(t) A(t), com 0 \leq \lambda(t) \leq 1, e que \left\|M^{\prime}(t)\right\|=v, mostre que o míssil atingirá o alvo no ponto ( 0, a );
(c) O que ocorrerá se a velocidade do míssil é menor (maior) do que v ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas:
Dados e hipóteses:
A circunferência é dada por \,x^{2}+y^{2}=a^{2}\, com a>0.
O alvo desloca-se com velocidade escalar constante \,v>0\, sobre essa circunferência, partindo de (a,0) no sentido anti-horário.
O míssil parte do centro C=(0,0), tem velocidade escalar constante (no item (b) igual a v) e está sempre na reta que une o centro ao alvo. Por isso a posição do míssil pode ser escrita como \,M(t)=\lambda(t)A(t)\, com 0\le \lambda(t)\le1.
Perguntas:
(a) Mostrar que a posição do alvo é \,A(t)=\bigl(a\cos\omega t,\;a\operatorname{sen}\omega t\bigr) com \omega=v/a.
(b) Usando que \|M'(t)\|=v (mesma velocidade que o alvo) mostrar que o míssil atingirá o alvo no ponto (0,a).
(c) Descrever o que ocorre se a velocidade do míssil for menor ou maior que v.
Passo 2
Resolver (a): encontrar a parametrização do movimento do alvo e justificar \omega=v/a.
Explicação didática:
Um ponto que se move sobre a circunferência de raio a com velocidade angular \omega tem posição padrão \bigl(a\cos\omega t,\;a\operatorname{sen}\omega t\bigr). Aqui \omega é a velocidade angular (rad/s).
A velocidade escalar (linear) do ponto sobre a circunferência relaciona-se com \omega por \,v_{\text{linear}}=a\,|\omega|\,. Isto vem de que a distância percorrida por um pequeno ângulo d\theta é a\,d\theta, assim a rapidez linear é a\,d\theta/dt.
No enunciado a rapidez linear é \,v. Como o sentido é anti-horário tomamos \omega>0. Logov=a\omega \quad\Longrightarrow\quad \omega=\frac{v}{a}.
Como parte de (a,0) e anda no sentido anti-horário, a parametrização é exatamenteA(t)=\bigl(a\cos\omega t,\;a\operatorname{sen}\omega t\bigr),\qquad \omega=\frac{v}{a}.
Passo 3
Começar (b): escrever M(t)=\lambda(t)A(t) e calcular as derivadas necessárias.
Escrevendo A(t) como vetor radial de módulo a, é útil definir o versor radial \,u(t)=\dfrac{A(t)}{a}\,, então A(t)=a\,u(t) com \|u(t)\|=1.
Assim M(t)=\lambda(t)A(t)=\underbrace{(\lambda(t)a)}_{r(t)}\,u(t). Aqui r(t)=a\lambda(t) é a distância do míssil ao centro.
Derivando M(t):M'(t)=\lambda'(t)A(t)+\lambda(t)A'(t).Esta fórmula vem da regra do produto para vetores (tratar \lambda(t) escalar e A(t) vetor).
Observação geométrica importante: A(t) é radial (aponta do centro para a posição do alvo) e A'(t) é tangente à circunferência (aponta perpendicularmente ao raio). Logo A(t)\perp A'(t) para todo t. Isto é fácil de ver porque \|A(t)\|^{2}=a^{2} é constante, então \dfrac{d}{dt}\bigl(A(t)\cdot A(t)\bigr)=2A(t)\cdot A'(t)=0, portanto A\cdot A'=0.
Comprimentos (normas):\|A(t)\|=a,\qquad \|A'(t)\|=a\omega=a\cdot\frac{v}{a}=v,pois \|A'(t)\| é exatamente a velocidade do alvo (rapidez linear), que é v.
Passo 4
Usar a condição \|M'(t)\|=v (velocidade do míssil igual a v) para obter uma equação para \lambda(t).
Como A e A' são ortogonais, ao computar \|M'(t)\|^{2} obtemos soma dos quadrados das componentes radial e tangencial:\|M'(t)\|^{2} = \|\lambda' A\|^{2} + \|\lambda A'\|^{2} = a^{2}(\lambda')^{2} + \lambda^{2}\|A'\|^{2}.
Substituindo \|A'\|=v e impondo \|M'(t)\|=v obtemosv^{2} = a^{2}(\lambda')^{2} + \lambda^{2}v^{2}.
Isolando (\lambda')^{2}:a^{2}(\lambda')^{2} = v^{2}(1-\lambda^{2}).Como \lambda(t) parte de \lambda(0)=0 (o míssil começa no centro) e cresce inicialmente para perseguir o alvo, tomamos a raiz positiva:\lambda'(t) = \frac{v}{a}\sqrt{1-\lambda(t)^{2}}.
Passo 5
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis e aplicar condição inicial.
A primitiva à esquerda é \arcsin(\lambda). Integrando de 0 a \lambda(t) e de 0 a t:\arcsin(\lambda(t)) - \arcsin(\lambda(0)) = \frac{v}{a}t.Como \lambda(0)=0, \arcsin(0)=0. Logo\arcsin(\lambda(t)) = \frac{v}{a}t.
Portanto\lambda(t)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{v}{a}t\right).(Aqui uso \operatorname{sen} conforme o enunciado; corresponde ao seno usual.)
Passo 6
Determinar quando o míssil atinge o alvo e qual é o ponto de encontro.
O míssil atinge o alvo quando \lambda(t)=1 (pois então M(t)=A(t)).
Pela expressão encontrada,\lambda(t)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{v}{a}t\right)=1ocorre na primeira vez quando\frac{v}{a}t=\frac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{a}{v}.
Nesse instante o alvo tem posiçãoA(t)=\bigl(a\cos(\tfrac{\pi}{2}),\;a\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})\bigr)=(0,a).
Conclusão do item (b): com velocidades iguais o míssil alcança o alvo exatamente no ponto (0,a).
Passo 7
Tratar (c): caso a velocidade do míssil seja diferente de v. Denotar por u a velocidade escalar do míssil (constante), enquanto o alvo continua com velocidade v.
Repetindo as contas do Passo 4 com \|M'(t)\|=u obtemosu^{2} = a^{2}(\lambda')^{2} + \lambda^{2}v^{2},o que dá\lambda'(t) = \frac{1}{a}\sqrt{u^{2}-v^{2}\lambda(t)^{2}}.
Separando e integrando, de modo análogo obtemos (com \lambda(0)=0)\arcsin\!\biggl(\frac{v\lambda(t)}{u}\biggr)=\frac{v}{a}t.Portanto\lambda(t)=\frac{u}{v}\operatorname{sen}\!\left(\frac{v}{a}t\right).
Analisar os dois casos:
Se u<v (míssil mais lento que o alvo): então \dfrac{u}{v}<1, logo \lambda(t)\le \dfrac{u}{v}<1 para todo t. Assim o míssil nunca atinge \lambda=1, ou seja, nunca alcança o alvo. Fisicamente ele oscila radialmente entre o centro e uma distância máxima a\cdot(u/v) do centro (atingida quando \operatorname{sen}(\tfrac{v}{a}t)=1), retornando depois ao centro; portanto não captura o alvo.
Se u>v (míssil mais rápido que o alvo): então \dfrac{u}{v}>1 e existe tempo t_{\text{encontro}}>0 tal que \lambda(t_{\text{encontro}})=1. Resolver \dfrac{u}{v}\operatorname{sen}(\tfrac{v}{a}t)=1 dá\operatorname{sen}\!\left(\frac{v}{a}t_{\text{encontro}}\right)=\frac{v}{u}.Assim o encontro ocorre quando o ângulo do alvo \theta=\dfrac{v}{a}t_{\text{encontro}} satisfaz \operatorname{sen}\theta=\dfrac{v}{u}. Em coordenadas o ponto de encontro é\bigl(a\cos\theta,\;a\operatorname{sen}\theta\bigr),com \theta=\arcsin\!\bigl(\dfrac{v}{u}\bigr). Note que \theta<\tfrac{\pi}{2}, ou seja, o encontro acontece antes do ponto (0,a), isto é, “à frente” do topo da circunferência no sentido anti-horário.
O caso u=v reduz-se ao item (b), onde \theta=\tfrac{\pi}{2} e o encontro dá (0,a).
Resposta
(a) A(t)=\bigl(a\cos\omega t,\;a\operatorname{sen}\omega t\bigr) com \omega=\dfrac{v}{a}.\n
(b) O míssil atinge o alvo em (0,a).\n
(c) Se a velocidade do míssil u<v então ele nunca alcança o alvo (atinge no máximo raio a\cdot\frac{u}{v}<a); se u>v então o míssil alcança o alvo antes do ponto (0,a), no ponto \bigl(a\cos\theta,\;a\operatorname{sen}\theta\bigr) com \theta=\arcsin\!\bigl(\tfrac{v}{u}\bigr)<\tfrac{\pi}{2}.