Um automóvel viaja com velocidade (escalar) constante numa curva de raio 1 km de uma auto-estrada. Se a componente normal da aceleração não pode exceder 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine a máxima velocidade possível.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Raio da curva: r = 1\\ \mathrm{km}.
    • Limite da componente normal da aceleração: a_{n,\max} = 1,2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O que se pede:
    • Determinar a máxima velocidade escalar possível do automóvel (ou seja, v_{\max}) de modo que a componente normal da aceleração não exceda a_{n,\max}.

Passo 2

Entendendo a componente normal da aceleração numa curva circular (aula rápida e sem medo).
  • Quando um objeto se move com velocidade escalar \,v numa trajetória circular de raio \,r com velocidade constante em módulo (movimento circular uniforme), a aceleração resultante aponta para o centro da curva e tem módulo dado por uma fórmula clássica: a_n=\frac{v^{2}}{r}.
  • O que significa cada símbolo:
    • a_n é a componente normal (ou centrípeta) da aceleração, medida em \mathrm{m/s^{2}}.
    • v é a velocidade escalar do veículo, medida em \mathrm{m/s}.
    • r é o raio da curva, em metros ( \mathrm{m}).
  • Por que essa fórmula vale (ideia intuitiva rápida): a direção da velocidade muda continuamente enquanto o carro descreve o círculo; essa mudança de direção em cada pequeno intervalo de tempo exige uma aceleração apontando para o centro. Essa aceleração tem módulo proporcional ao quadrado da velocidade e inversamente proporcional ao raio — daí a_n=v^{2}/r. (Se quiser, dá para derivar usando \,v=\omega r e a=\omega^{2}r, mas aqui usamos a forma final.)

Passo 3

Relacionando a condição do enunciado com a fórmula.
  • O enunciado exige que a componente normal não exceda a_{n,\max}. Em termos da fórmula: a_n=\frac{v^{2}}{r}\le a_{n,\max}.
  • Isolando v na desigualdade para achar o máximo permitido: \frac{v^{2}}{r}\le a_{n,\max}\quad\Rightarrow\quad v^{2}\le a_{n,\max}\,r\quad\Rightarrow\quad v\le\sqrt{a_{n,\max}\,r}.
  • Assim, a velocidade máxima permissível é v_{\max}=\sqrt{a_{n,\max}\,r}.

Passo 4

Colocando tudo em unidades consistentes (aula prática sobre unidades).
  • O enunciado deu r em quilómetros e a_{n,\max} em \mathrm{m/s^{2}}. Sempre converta para as mesmas unidades antes de calcular.
  • Converter r: r=1\\ \mathrm{km}=1000\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular numericamente v_{\max}.
  • Substituindo na fórmula: v_{\max}=\sqrt{1,2\cdot1000}=\sqrt{1200}.
  • Simplificando a raiz: \sqrt{1200}=\sqrt{12\cdot100}=10\sqrt{12}=10\cdot2\sqrt{3}=20\sqrt{3}.
  • Valor numérico aproximado (usar \sqrt{3}\approx1,732): v_{\max}=20\sqrt{3}\approx20\cdot1,732\approx34,64\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Converter para uma unidade de uso corrente (km/h) e comentar o resultado.
  • Para converter \mathrm{m/s} em \mathrm{km/h}, multiplica-se por 3,6: v_{\max}\\ (\mathrm{km/h})=34,64\cdot3,6\approx124,7\\ \mathrm{km/h}.
  • Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, para não exceder a aceleração lateral máxima de 1,2\\ \mathrm{m/s^{2}}, o carro não deveria fazer a curva acima de cerca de 125\\ \mathrm{km/h}. Dá para ir tranquilo seguindo isso — e se estiver inseguro, reduza a velocidade, beleza?

Resposta

v_{\max}=34,64\\ \mathrm{m/s}
v_{\max}\approx124,7\\ \mathrm{km/h}

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