(Mantenha as notações do exemplo 2.2.21.) Supondo desprezível a resistência do ar e constante a aceleração
da gravidade, seja
, em relação ao referencial plano indicado abaixo.
Se a trajetória de um ponto é a parábola
, na qual o vetor velocidade
possui a componente horizontal
constante, mostre que a aceleração é constante.
Se a trajetória de um ponto é a parábola
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma conclusão:
- A trajetória do ponto é a parábola
. - A componente horizontal da velocidade é constante:
constante. - A aceleração em relação ao referencial é
(isto está indicado no enunciado).
O que se pede: mostrar que a aceleração é constante (isto é, quenão depende de ) dado que é função quadrática de e é constante.
Passo 2
Primeiro, explicação da estratégia (sem iniciar cálculo): como
depende de
e
depende de
, vamos ver
como composição
. Para obter velocidade e aceleração usamos diferenciação por composto (regra da cadeia). Vou lembrar a regra da cadeia de forma simples: se
e
, então
Isto permite obter
a partir de
e de
.
Passo 3
Parametrização de
usando que
é constante. Como
é constante, integra-se diretamente:
onde
é a posição inicial (uma constante). Não precisamos do valor de
para a aceleração final, só é importante saber que
é uma função afim de
.
Passo 4
Agora escrevemos
por composição usando a parábola:
Aplicamos a regra da cadeia para obter
. Primeiro calcule
(derivada da parábola em função de
):
Pela regra da cadeia,
Portanto o vetor velocidade é
Passo 5
Agora diferenciamos
em relação a
para obter a aceleração
. A componente horizontal:
pois
é constante. Para a componente vertical usamos que
. Então
Aqui
é constante, então podemos tirar
fora da derivada:
Como
é constante e
, obtemos
Portanto
Passo 6
Juntando as componentes, a aceleração é o vetor
Note que esse resultado não depende de
: é uma constante (vetor constante). Assim mostramos que a aceleração é constante, como pedido.
Passo 7
Comentário prático (para lembrar na prova): no caso físico de um projétil com aceleração gravitacional
, a igualdade das componentes verticais dá a condição
ou seja, a curvatura
da parábola está relacionada a
e a
por essa expressão. Isto confirma que a parábola apropriada tem
negativo se
e eixo
positivo para cima.