(Mantenha as notações do exemplo 2.2.21.) Supondo desprezível a resistência do ar e constante a aceleração \mathbf{g} da gravidade, seja A=(0,-g)=\alpha^{\prime \prime}(t), em relação ao referencial plano indicado abaixo.
Se a trajetória de um ponto é a parábola y=a x^{2}+b x+c, na qual o vetor velocidade V(t)=\left(v_{x}, v_{y}\right) possui a componente horizontal v_{x} constante, mostre que a aceleração é constante.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • A trajetória do ponto é a parábola y=a x^{2}+b x+c.
  • A componente horizontal da velocidade é constante: v_{x}=\dfrac{dx}{dt}= constante.
  • A aceleração em relação ao referencial é A=(0,-g)=\alpha''(t) (isto está indicado no enunciado).
    O que se pede: mostrar que a aceleração é constante (isto é, que \alpha''(t) não depende de t) dado que y é função quadrática de x e v_{x} é constante.

Passo 2

Primeiro, explicação da estratégia (sem iniciar cálculo): como y depende de x e x depende de t, vamos ver y como composição y(t)=y(x(t)). Para obter velocidade e aceleração usamos diferenciação por composto (regra da cadeia). Vou lembrar a regra da cadeia de forma simples: se y=y(x) e x=x(t), então
\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Isto permite obter v_{y}=\dfrac{dy}{dt} a partir de \dfrac{dy}{dx} e de v_{x}=\dfrac{dx}{dt}.

Passo 3

Parametrização de x(t) usando que v_{x} é constante. Como v_{x}=\dfrac{dx}{dt} é constante, integra-se diretamente:
x(t)=v_{x}t+x_{0},
onde x_{0} é a posição inicial (uma constante). Não precisamos do valor de x_{0} para a aceleração final, só é importante saber que x(t) é uma função afim de t.

Passo 4

Agora escrevemos y(t) por composição usando a parábola:
y(t)=a\bigl(x(t)\bigr)^{2}+b\bigl(x(t)\bigr)+c.
Aplicamos a regra da cadeia para obter v_{y}=\dfrac{dy}{dt}. Primeiro calcule \dfrac{dy}{dx} (derivada da parábola em função de x):
\frac{dy}{dx}=2a x + b.
Pela regra da cadeia,
v_{y}=\frac{dy}{dt}=\left(2a x(t)+b\right)\cdot\frac{dx}{dt}=\left(2a x(t)+b\right)v_{x}.
Portanto o vetor velocidade é
V(t)=\bigl(v_{x},\;v_{y}\bigr)=\bigl(v_{x},\;(2a x(t)+b)v_{x}\bigr).

Passo 5

Agora diferenciamos V(t) em relação a t para obter a aceleração \alpha''(t)=A(t). A componente horizontal:
\frac{d}{dt}v_{x}=0,
pois v_{x} é constante. Para a componente vertical usamos que x(t)=v_{x}t+x_{0}. Então
a_{y}(t)=\frac{d}{dt}\bigl((2a x(t)+b)v_{x}\bigr).
Aqui v_{x} é constante, então podemos tirar v_{x} fora da derivada:
a_{y}(t)=v_{x}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(2a x(t)+b\bigr).
Como b é constante e \dfrac{d}{dt}x(t)=v_{x}, obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(2a x(t)+b\bigr)=2a\frac{dx}{dt}=2a v_{x}.
Portanto
a_{y}(t)=v_{x}\cdot(2a v_{x})=2a v_{x}^{2}.

Passo 6

Juntando as componentes, a aceleração é o vetor
A(t)=\bigl(0,\;2a v_{x}^{2}\bigr).
Note que esse resultado não depende de t: é uma constante (vetor constante). Assim mostramos que a aceleração é constante, como pedido.

Passo 7

Comentário prático (para lembrar na prova): no caso físico de um projétil com aceleração gravitacional A=(0,-g), a igualdade das componentes verticais dá a condição
2a v_{x}^{2}=-g,
ou seja, a curvatura a da parábola está relacionada a g e a v_{x} por essa expressão. Isto confirma que a parábola apropriada tem a negativo se g>0 e eixo y positivo para cima.

Resposta

A=(0,\,2a v_{x}^{2})

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