Para manter o padrão de qualidade, a fábrica verifica várias características fisicoquímicas das garrafas produzidas e elimina aquelas que não se adequam ao padrão. Após inspecionar as 49 garrafas da amostra, observou-se que cinco delas estavam fora do padrão de qualidade. Construa um intervalo de confiança de 95 % para a proporção de garrafas fora do padrão de qualidade e responda ao que se pede:
Nestas condições, quantas amostras seriam necessárias ao todo para obter um intervalo de confiança (de 95%) com margem de erro de 4%?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que numa amostra de 49 garrafas, 5 saíram fora do padrão. A ideia é:
  • Primeiro, montar um intervalo de confiança de 95% para a proporção de garrafas fora do padrão.
  • Depois, descobrir quantas garrafas (n) a gente precisaria para ter esse mesmo intervalo de 95% com margem de erro de 4%.
    Conteúdo envolvido: proporção amostral, intervalo de confiança para proporção e cálculo do tamanho de amostra para proporção.

Passo 2

Vamos achar a proporção amostral hat p = 549 approx 0,10204 . É simplesmente o número de “sucessos” (aqui, garrafas fora do padrão) dividido pelo total:

Passo 3

O intervalo de confiança para proporção usa a fórmula
hat p pm zalpha/2,raizhat p,(1-hat p)n,
onde é o valor crítico da Normal padrão para . Como queremos 95%, e .

Passo 4

Calcular o erro padrão:
EP = raizhat p,(1-hat p)n = raiz0,10204 times (1 - 0,10204)49 = raiz0,10204 times 0,8979649 approx raiz0,001873 approx 0,0433
Então a margem de erro (ME) é
ME = z0,025times EP = 1,96 times 0,0433 approx 0,0849

Passo 5

Agora o intervalo de confiança:
hat p pm ME = 0,10204 pm 0,0849
Isso dá
[,0,10204 - 0,0849 ;,; 0,10204 + 0,0849,] approx [,0,0171 ;,; 0,1869,]

Passo 6

Pra achar o tamanho de amostra necessário com margem de erro n = zalpha/2^2;hat p,(1-hat p)E^2 , usamos a fórmula

Passo 7

Substituindo valores:
n = 1,96^2 times 0,10204 times 0,897960,04^2 = 3,8416 times 0,091630,0016 approx 0,35240,0016 approx 220,25
Como não dá pra ter 0,25 de amostra, arredondamos pra cima: .

Resposta

Intervalo de confiança de 95% para a proporção: .
Tamanho de amostra para margem de erro de 4%: .

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