Para manter o padrão de qualidade, a fábrica verifica várias características fisicoquímicas das garrafas produzidas e elimina aquelas que não se adequam ao padrão. Após inspecionar as 49 garrafas da amostra, observou-se que cinco delas estavam fora do padrão de qualidade. Construa um intervalo de confiança de
para a proporção de garrafas fora do padrão de qualidade e responda ao que se pede:
Nestas condições, quantas amostras seriam necessárias ao todo para obter um intervalo de confiança (de 95%) com margem de erro de 4%?
Nestas condições, quantas amostras seriam necessárias ao todo para obter um intervalo de confiança (de 95%) com margem de erro de 4%?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que numa amostra de 49 garrafas, 5 saíram fora do padrão. A ideia é:
- Primeiro, montar um intervalo de confiança de 95% para a proporção de garrafas fora do padrão.
- Depois, descobrir quantas garrafas (n) a gente precisaria para ter esse mesmo intervalo de 95% com margem de erro de 4%.
Conteúdo envolvido: proporção amostral, intervalo de confiança para proporção e cálculo do tamanho de amostra para proporção.
Passo 2
Vamos achar a proporção amostral
. É simplesmente o número de “sucessos” (aqui, garrafas fora do padrão) dividido pelo total:
Passo 3
O intervalo de confiança para proporção usa a fórmula
onde
é o valor crítico da Normal padrão para
. Como queremos 95%,
e
.
Passo 4
Calcular o erro padrão:
Então a margem de erro (ME) é
Passo 5
Agora o intervalo de confiança:
Isso dá
Passo 6
Pra achar o tamanho de amostra necessário com margem de erro
, usamos a fórmula
Passo 7
Substituindo valores:
Como não dá pra ter 0,25 de amostra, arredondamos pra cima:
.
Resposta
Intervalo de confiança de 95% para a proporção:
.
Tamanho de amostra para margem de erro de 4%: .
Tamanho de amostra para margem de erro de 4%: