(Manual de Hidráulica - Azevedo Netto) Dois reservatórios estão ligados por uma canalização de ferro fundido (\varepsilon=0,00026 \mathrm{~m}) com 0,15 \mathrm{~m} de diâmetro e 360 m de extensão. Determinar a velocidade e a vazão no momento em que a diferença de nível entre os dois reservatórios igualar-se a 9,30 \mathrm{~m}. Admitir a temperatura da água como sendo de 26,5^{\circ} \mathrm{C}\left(v=8,66 \cdot 10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right).

Passo 1

O enunciado dá dois reservatórios com desnível \Delta H=9{,}30\\ \mathrm{m} ligados por um tubo de ferro fundido de diâmetro interno D=0{,}15\\ \mathrm{m}, comprimento L=360\\ \mathrm{m} e rugosidade absoluta \varepsilon=0{,}00026\\ \mathrm{m}. A água, à temperatura de 26{,}5^\circ\mathrm{C}, tem viscosidade cinemática \nu=8{,}66\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Conteúdo: escoamento permanente em conduto sob ação de gravidade, usando a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito e o critério de Colebrook (ou Swamee–Jain) para fator de atrito f.

Passo 2

Como só há perda de carga por atrito, igualamos a carga disponível \Delta H à perda de carga de Darcy–Weisbach:
\Delta H \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}
onde v é a velocidade média, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e f é o fator de atrito que depende de Re e de \varepsilon/D. Desta relação isolamos v:
v \;=\;\sqrt{\frac{2g\,\Delta H\,D}{f\,L}}.

Passo 3

Calculamos a rugosidade relativa
\frac{\varepsilon}{D} \;=\;\frac{0{,}00026}{0{,}15}\approx0{,}001733.
Para o fator de atrito f usamos a fórmula de Swamee–Jain (aproximação explícita à Colebrook):
f \;=\;\frac{0{,}25}{\Bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\tfrac{5{,}74}{Re^{0,9}}\bigr)\Bigr]^2},
com
Re=\frac{v\,D}{\nu}.

Passo 4

Fazemos uma iteração começando por um palpite inicial f_1=0{,}02:
  1. Calculamos
v_1 = \sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot9{,}30\cdot0{,}15}{0{,}02\cdot360}} \approx1{,}95\\ \mathrm{m/s}.
  1. O número de Reynolds é
Re_1=\frac{1{,}95\cdot0{,}15}{8{,}66\times10^{-7}}\approx3{,}38\times10^5.
  1. Com Re_1 e \varepsilon/D atualizamos
f_2 =\frac{0{,}25}{\bigl[\log_{10}(0{,}00026/(3{,}7\cdot0{,}15)+5{,}74/Re_1^{0,9})\bigr]^2} \approx0{,}0233.

Passo 5

Repetimos a iteração com f_2:
  1. Velocidade nova
v_2=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}81\cdot9{,}30\cdot0{,}15}{0{,}0233\cdot360}} \approx1{,}81\\ \mathrm{m/s}.
  1. Reynolds
Re_2=\frac{1{,}81\cdot0{,}15}{8{,}66\times10^{-7}}\approx3{,}13\times10^5.
  1. Novo f_3 pela fórmula de Swamee–Jain dá f_3\approx0{,}0234, praticamente o mesmo de f_2. Convergência obtida.

Passo 6

Velocidade convergida
v\approx1{,}81\\ \mathrm{m/s}.
A vazão é
Q = v\,\frac{\pi D^2}{4} =1{,}81\cdot\frac{\pi\,(0{,}15)^2}{4} \approx3{,}19\times10^{-2}\\ \mathrm{m^3/s}.

Resposta

Velocidade v\approx1{,}81\\ \mathrm{m/s}
Vazão Q\approx0{,}0320\\ \mathrm{m^3/s} (ou 32,0\\ \mathrm{L/s}).

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