Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre doze artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho cinco contenha exatamente um defeituoso?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Probabilidade de um artigo ser defeituoso:
. - Tamanho da amostra:
. - Pergunta: qual a probabilidade de que a amostra contenha exatamente um defeituoso?
Passo 2
Vamos pensar no experimento como
tentativas independentes, cada uma com probabilidade
de “sucesso” (aqui sucesso = artigo defeituoso) e probabilidade
de não defeito. Para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos em
tentativas, usamos a fórmula
Explicando cada termo:
-
é o número de maneiras de escolher quais das posições têm o defeito (combinações). -
é a probabilidade de essas posições serem defeituosas (multiplicamos por vezes). -
é a probabilidade de as outras posições serem não defeituosas.
A razão desse produto é que cada escolha de quais posições são defeituosas tem probabilidade, e há escolhas possíveis.
Passo 3
Aplicando à nossa situação: queremos exatamente
defeituoso em
, com
. Primeiro calculemos a combinação:
Intuição: há 5 maneiras de escolher qual dos 5 artigos será o defeituoso.
Passo 4
Agora montamos a probabilidade usando a fórmula:
Simplificando a expressão:
Calculemos potências e produto:
e
. Assim
Passo 5
Vamos obter uma aproximação decimal para interpretar melhor:
Ou seja, cerca de
(aproximando para quatro casas decimais), que em porcentagem é aproximadamente
.
Passo 6
Interpretação final curta e motivadora: isso significa que, ao pegar 5 artigos aleatoriamente quando cada um tem chance
de ser defeituoso, a chance de encontrar exatamente um defeituoso na amostra é cerca de
. Boa — você já consegue aplicar a fórmula direto na prova: escolha o
, compute
e complete com
.