Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre doze artigos é defeituoso. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho cinco contenha exatamente um defeituoso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Probabilidade de um artigo ser defeituoso: \displaystyle p=\frac{1}{12}.
  • Tamanho da amostra: \displaystyle n=5.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que a amostra contenha exatamente um defeituoso?

Passo 2

Vamos pensar no experimento como n=5 tentativas independentes, cada uma com probabilidade \displaystyle p=\frac{1}{12} de “sucesso” (aqui sucesso = artigo defeituoso) e probabilidade \displaystyle 1-p de não defeito. Para calcular a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos em n tentativas, usamos a fórmula
\Pr(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada termo:
  • \displaystyle \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k das n posições têm o defeito (combinações).
  • \displaystyle p^{k} é a probabilidade de essas k posições serem defeituosas (multiplicamos p por p k vezes).
  • \displaystyle (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de as outras n-k posições serem não defeituosas.
    A razão desse produto é que cada escolha de quais posições são defeituosas tem probabilidade p^{k}(1-p)^{n-k}, e há \binom{n}{k} escolhas possíveis.

Passo 3

Aplicando à nossa situação: queremos exatamente \displaystyle k=1 defeituoso em \displaystyle n=5, com \displaystyle p=\frac{1}{12}. Primeiro calculemos a combinação:
\binom{5}{1}=\frac{5!}{1!(5-1)!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{1\cdot(4\cdot3\cdot2\cdot1)}=5.
Intuição: há 5 maneiras de escolher qual dos 5 artigos será o defeituoso.

Passo 4

Agora montamos a probabilidade usando a fórmula:
\Pr(\text{exatamente 1 defeituoso})=\binom{5}{1}\left(\frac{1}{12}\right)^{1}\left(\frac{11}{12}\right)^{4}.
Simplificando a expressão:
\Pr=\;5\cdot\frac{1}{12}\cdot\left(\frac{11}{12}\right)^{4} \;=\;\frac{5\cdot 11^{4}}{12^{5}}.
Calculemos potências e produto: \displaystyle 11^{4}=14641 e \displaystyle 12^{5}=248832. Assim
\Pr=\frac{5\cdot 14641}{248832}=\frac{73205}{248832}.

Passo 5

Vamos obter uma aproximação decimal para interpretar melhor:
\frac{73205}{248832}\approx 0,29445\ldots
Ou seja, cerca de \displaystyle 0,2945 (aproximando para quatro casas decimais), que em porcentagem é aproximadamente 29,45\%.

Passo 6

Interpretação final curta e motivadora: isso significa que, ao pegar 5 artigos aleatoriamente quando cada um tem chance \displaystyle \frac{1}{12} de ser defeituoso, a chance de encontrar exatamente um defeituoso na amostra é cerca de 29{,}45\%. Boa — você já consegue aplicar a fórmula direto na prova: escolha o k, compute \binom{n}{k} e complete com p^{k}(1-p)^{n-k}.

Resposta

\displaystyle \Pr=\frac{5\cdot 11^{4}}{12^{5}}=\frac{73205}{248832}\approx 0,29445

Exercícios relacionados