Na distribuição de valores iguais, o Desvio padrão é:
a) ( ) negativo
b) ( ) a unidade
c) ( ) zero
d) ( ) positivo
a) ( ) negativo
b) ( ) a unidade
c) ( ) zero
d) ( ) positivo
Passo 1
O enunciado pergunta: “Na distribuição de valores iguais, o Desvio padrão é:” e apresenta alternativas. Informação relevante dada: todos os valores da distribuição são iguais entre si (ou seja, a amostra/ populaçao consiste em réplicas de um mesmo número). Não se pede método específico — queremos identificar o valor do desvio padrão nessa situação.
Passo 2
Vamos recordar o que é a média aritmética e como ela se calcula, porque o desvio padrão depende dela. Para uma coleção de
observações
, a média aritmética (média) é definida por
Aqui
é o valor médio;
é o número de observações;
é a i-ésima observação. Essa fórmula simplesmente soma todos os valores e divide por quantos são — é a “posição central” dos dados.
Passo 3
Agora aplique isso ao caso em que todas as observações são iguais a um mesmo número constante
. Então temos
Substituindo na fórmula da média:
Ou seja, a média é exatamente
. Intuitivamente, se todos os valores são
, a medida central também deve ser
.
Passo 4
Agora a definição do desvio padrão (usarei a definição de população; o raciocínio vale para a amostra também): a variância populacional é
onde
é a variância,
são as observações e
é a média. O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
Explicando em linguagem simples: para cada observação calcula-se quanto ela se afasta da média
, isso é elevado ao quadrado para tornar positivo, soma-se tudo e divide-se por
— dá a variância; tirar a raiz volta à mesma unidade dos dados e dá o desvio padrão.
Passo 5
Voltemos ao caso
para todo
. Já vimos que
. Então cada diferença
vale
Logo cada termo
vale
. Substituindo na soma da variância:
A variância é zero porque não há dispersão dos dados em torno da média — todos estão exatamente na média.
Passo 6
Como o desvio padrão é a raiz da variância, temos
Portanto o desvio padrão é zero. Observação importante: o desvio padrão nunca é negativo (porque é raiz quadrada de uma soma de quadrados), então os únicos valores possíveis em situações extremas são
ou
. Aqui cai em
.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para fixar: considere a amostra
. A média é
As diferenças são
para cada observação; a variância é
e o desvio padrão é
. Isso mostra concretamente o resultado.
Passo 8
Comentário sobre desvio padrão amostral (o
com divisor
): a fórmula amostral é
Mesmo aqui, se todos os
são iguais, todos os termos
são zero, então
e
(exceto o caso degenerado
, onde
não é definido por divisão por zero, mas isso é um detalhe técnico). Na prática, para qualquer
com todos valores iguais, o desvio padrão amostral também será
.
Passo 9
Resumo intuitivo: desvio padrão mede “quanto os números variam em relação à média”. Se todos os números são iguais, não há variação, então a medida de dispersão deve ser zero. Você consegue usar isso direto na prova: ao ver “valores iguais”, pensar imediatamente que as diferenças para a média são nulas.
Resposta
(c) zero