Na distribuição de valores iguais, o Desvio padrão é:
a) ( ) negativo
b) ( ) a unidade
c) ( ) zero
d) ( ) positivo

Passo 1

O enunciado pergunta: “Na distribuição de valores iguais, o Desvio padrão é:” e apresenta alternativas. Informação relevante dada: todos os valores da distribuição são iguais entre si (ou seja, a amostra/ populaçao consiste em réplicas de um mesmo número). Não se pede método específico — queremos identificar o valor do desvio padrão nessa situação.

Passo 2

Vamos recordar o que é a média aritmética e como ela se calcula, porque o desvio padrão depende dela. Para uma coleção de n observações x_1,x_2,\dots,x_n, a média aritmética (média) é definida por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui \bar{x} é o valor médio; n é o número de observações; x_i é a i-ésima observação. Essa fórmula simplesmente soma todos os valores e divide por quantos são — é a “posição central” dos dados.

Passo 3

Agora aplique isso ao caso em que todas as observações são iguais a um mesmo número constante c. Então temos
x_1=x_2=\dots=x_n=c.
Substituindo na fórmula da média:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} c=\frac{1}{n}\cdot n\cdot c=c.
Ou seja, a média é exatamente c. Intuitivamente, se todos os valores são c, a medida central também deve ser c.

Passo 4

Agora a definição do desvio padrão (usarei a definição de população; o raciocínio vale para a amostra também): a variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde \sigma^2 é a variância, x_i são as observações e \bar{x} é a média. O desvio padrão populacional é a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Explicando em linguagem simples: para cada observação calcula-se quanto ela se afasta da média (x_i-\bar{x}), isso é elevado ao quadrado para tornar positivo, soma-se tudo e divide-se por n — dá a variância; tirar a raiz volta à mesma unidade dos dados e dá o desvio padrão.

Passo 5

Voltemos ao caso x_i=c para todo i. Já vimos que \bar{x}=c. Então cada diferença x_i-\bar{x} vale
x_i-\bar{x}=c-c=0.
Logo cada termo (x_i-\bar{x})^2 vale 0^2=0. Substituindo na soma da variância:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}0=0.
A variância é zero porque não há dispersão dos dados em torno da média — todos estão exatamente na média.

Passo 6

Como o desvio padrão é a raiz da variância, temos
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{0}=0.
Portanto o desvio padrão é zero. Observação importante: o desvio padrão nunca é negativo (porque é raiz quadrada de uma soma de quadrados), então os únicos valores possíveis em situações extremas são \sigma=0 ou \sigma>0. Aqui cai em \sigma=0.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para fixar: considere a amostra \{5,5,5\}. A média é
\bar{x}=\frac{5+5+5}{3}=5.
As diferenças são 5-5=0 para cada observação; a variância é 0 e o desvio padrão é \sqrt{0}=0. Isso mostra concretamente o resultado.

Passo 8

Comentário sobre desvio padrão amostral (o s com divisor n-1): a fórmula amostral é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Mesmo aqui, se todos os x_i são iguais, todos os termos (x_i-\bar{x})^2 são zero, então s^2=0 e s=0 (exceto o caso degenerado n=1, onde s não é definido por divisão por zero, mas isso é um detalhe técnico). Na prática, para qualquer n\ge2 com todos valores iguais, o desvio padrão amostral também será 0.

Passo 9

Resumo intuitivo: desvio padrão mede “quanto os números variam em relação à média”. Se todos os números são iguais, não há variação, então a medida de dispersão deve ser zero. Você consegue usar isso direto na prova: ao ver “valores iguais”, pensar imediatamente que as diferenças para a média são nulas.

Resposta

(c) zero

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