Suponhamos que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson, com número médio de chegadas em 6 horas igual a 12 .
Qual a probabilidade de pelo menos 2 navios chegarem em 2 horas.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, em um intervalo de 2 horas, ocorram pelo menos 2 chegadas de navios.
Informações dadas: a chegada de navios obedece a um processo de chegadas descrito no enunciado, e o número médio de chegadas em 6 horas é 12.

Passo 2

Vamos entender a distribuição adequada e como usar os dados. Para processos de chegadas como este, quando o enunciado diz que segue o processo de chegidas (está implícito que é um processo com chegadas independentes e taxa constante), o número de chegadas em um intervalo de tempo segue a distribuição cujo termo geral é dado por
P(N=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde N é o número de chegadas no intervalo considerado, k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots) e \lambda é o valor esperado (média) do número de chegadas naquele intervalo. Aqui cada símbolo significa:
  • P(N=k): probabilidade de haver exatamente k chegadas no intervalo;
  • \lambda: média esperada de chegadas no mesmo intervalo (um número real positivo);
  • k!: fatorial de k (por exemplo, 3! = 3\cdot2\cdot1).
Precisamos ajustar \lambda para o intervalo de 2 horas usando a informação dada. O enunciado diz que a média em 6 horas é 12. Assim a taxa por hora é
\text{taxa por hora}=\frac{12}{6}=2.
Logo, para 2 horas a média (parâmetro) é
\lambda = 2 \times 2 = 4.

Passo 3

Queremos a probabilidade de "pelo menos 2" chegadas em 2 horas, isto é P(N\ge 2). É mais fácil calcular o complemento:
P(N\ge 2)=1-P(N=0)-P(N=1).
Usando a fórmula da distribuição com \lambda=4 obtemos
P(N=0)=e^{-4}\frac{4^{0}}{0!}=e^{-4},
P(N=1)=e^{-4}\frac{4^{1}}{1!}=4e^{-4}.
Somando,
P(N=0)+P(N=1)=e^{-4}+4e^{-4}=5e^{-4},
portanto
P(N\ge 2)=1-5e^{-4}.

Passo 4

Agora uma aproximação numérica para ficar mais intuitivo. Sabemos que
e^{-4}\approx 0,0183156,
então
5e^{-4}\approx 0,091578,
e finalmente
P(N\ge 2)=1-5e^{-4}\approx 0,908422.
Arredondando de forma usual, a probabilidade é aproximadamente 0,9084 (ou 90{,}84\%). Dica rápida: em prova, calcule e^{-\lambda} no visor da calculadora e multiplique por 1+\lambda para obter P(N=0)+P(N=1)=e^{-\lambda}(1+\lambda), depois use 1- isso.

Resposta

1-5e^{-4}\approx 0,9084

Exercícios relacionados