Suponhamos que a chegada de navios a um porto segue um processo de Poisson, com número médio de chegadas em 6 horas igual a 12 .
Qual a probabilidade de pelo menos 2 navios chegarem em 2 horas.
Qual a probabilidade de pelo menos 2 navios chegarem em 2 horas.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, em um intervalo de
horas, ocorram pelo menos
chegadas de navios.
Informações dadas: a chegada de navios obedece a um processo de chegadas descrito no enunciado, e o número médio de chegadas em horas é
.
Informações dadas: a chegada de navios obedece a um processo de chegadas descrito no enunciado, e o número médio de chegadas em
Passo 2
Vamos entender a distribuição adequada e como usar os dados. Para processos de chegadas como este, quando o enunciado diz que segue o processo de chegidas (está implícito que é um processo com chegadas independentes e taxa constante), o número de chegadas em um intervalo de tempo segue a distribuição cujo termo geral é dado por
onde
é o número de chegadas no intervalo considerado,
é um número inteiro não negativo (
) e
é o valor esperado (média) do número de chegadas naquele intervalo. Aqui cada símbolo significa:
-
: probabilidade de haver exatamente chegadas no intervalo; -
: média esperada de chegadas no mesmo intervalo (um número real positivo); -
: fatorial de (por exemplo, ).
Precisamos ajustar
para o intervalo de
horas usando a informação dada. O enunciado diz que a média em
horas é
. Assim a taxa por hora é
Logo, para
horas a média (parâmetro) é
Passo 3
Queremos a probabilidade de "pelo menos
" chegadas em
horas, isto é
. É mais fácil calcular o complemento:
Usando a fórmula da distribuição com
obtemos
Somando,
portanto
Passo 4
Agora uma aproximação numérica para ficar mais intuitivo. Sabemos que
então
e finalmente
Arredondando de forma usual, a probabilidade é aproximadamente
(ou
). Dica rápida: em prova, calcule
no visor da calculadora e multiplique por
para obter
, depois use
isso.