Many impressive looking limits can be evaluated easily (especially by the person who makes them up), because they are really lower or upper sums in disguise. With this remark as hint, evaluate each of the following. (Warning: the list contains one red herring which can be evaluated by elementary considerations.)
(ii)
.
(ii)
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema dá e o que pede.
- O enunciado pede o limite
- Uma observação imediata (pegando a informação do enunciado): para cada inteiro
vale . - Portanto a soma no numerador pode ser reescrita como
e a expressão inteira é
- O que se pede é o limite, quando
, dessa expressão.
Passo 2
Vou explicar a ideia principal: isso é um somatório que se apresenta exatamente como uma soma de Riemann (ou soma de integração), então converge para uma integral. Primeiro as definições básicas, de um jeito bem direto.
- Considere a função
, que é contínua em todo . - Dividimos o intervalo
em subintervalos iguais. O comprimento de cada subintervalo é
- Para cada
definimos o ponto de amostragem (ponto à direita) como
- A soma de Riemann com pontos à direita é
que coincide exatamente com a expressão do enunciado. Ou seja,
Passo 3
Aqui vai a regra que usamos (explicada de forma simples) e por que ela vale:
- Teorema intuitivo: se
é contínua em , então qualquer soma de Riemann para uma partição cujo diâmetro vai a zero converge para a integral . No nosso caso, é contínua e quando . Portanto as somas de Riemann com pontos convergem para . - Para dar um argumento mais concreto e rígido:
é crescente, então as somas com pontos à esquerda
satisfazem
, onde
(ou seja, a nossa soma é a soma direita). A diferença entre soma direita e soma esquerda é
que tende a
quando
. Como tanto
quanto
convergem para a mesma integral
, pela desigualdade em sanduíche a nossa soma também converge para essa integral.
Passo 4
Agora calculamos explicitamente a integral que apareceu:
- A primitiva de
é . Portanto
- Pelo que foi explicado, a soma de Riemann converge para esse valor quando
.
Passo 5
Resumo final e interpretação prática (um empurrãozinho para a prova):
- A expressão original é uma soma de Riemann para
no intervalo com passo e pontos . - Pelo teorema de integração por somas de Riemann (f contínua) e pelo cálculo direto da integral, o limite pedido é
. - Dica para a prova: quando vir somas do tipo
pense imediatamente em .