Many impressive looking limits can be evaluated easily (especially by the person who makes them up), because they are really lower or upper sums in disguise. With this remark as hint, evaluate each of the following. (Warning: the list contains one red herring which can be evaluated by elementary considerations.)
(iii)
).
(iii) ).
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes fornecidas:
- A soma tem exatamente
termos, que são os termos com variando de até . - O índice
tende para o infinito.
O objetivo é encontrar o número real (se existir) para o qual essa soma converge quando.
Passo 2
Primeira ideia (regrinha prática que cai bem na prova): reescrever a soma como uma soma do tipo
, ou seja, como uma soma de Riemann que aproxima uma integral. Vamos manipular algebricamente a soma para ver essa forma.
Considere a soma original e faça a mudança
com
. Então
Agora fatoramos
do denominador em cada termo:
Logo a soma fica
Passo 3
Explicação didática do porquê isso é uma soma de Riemann (a parte “teórica” que precisa saber para a prova):
-
Uma soma de Riemann para uma função
em um intervalo tem a forma aproximada ondesão pontos em subintervalos de comprimento . Quando , essa soma tende ao valor exato da integral desde queseja razoável (por exemplo, contínua) no intervalo. -
No nosso caso identificamos
como o “ ”, e os pontos como pontos no intervalo . Tome A funçãoé contínua em , então as somas de Riemann com pontos convergem para a integral .
Portanto a soma que temos é exatamente a soma de Riemann (com pontos à direita) para
em
:
Passo 4
Agora vamos calcular a integral que aparece como limite da soma de Riemann. Essa é uma integral simples de primitiva conhecida.
Temos
A primitiva de
é
(aqui
é o logaritmo natural). Assim, usando o teorema fundamental do cálculo,
Como
, o valor da integral é
.
Passo 5
Para quem gosta de garantia extra (método alternativo elementar usando comparações com integrais): é possível também obter o mesmo resultado comparando cada termo
com integrais de
sobre intervalos unitários. Por exemplo, para
vale
e somando essas desigualdades para
obtém-se limites por baixo e por cima que convergem ambos para
. Isso confirma rigorosamente que a soma tende a
.
Passo 6
Resumo da ideia chave para a prova (do jeitinho que cai bem na folha da prova): rewrite the sum as
, recognize a Riemann sum for
, compute the integral and get
.