In Problem 2-16 we saw that any rational approximation
to
can be replaced by a better approximation
. In particular, starting with
, we obtain
(a) Prove that this sequence is given recursively by
(b) Prove that
. This gives the so-called continued fraction expansion
Hint: Consider separately the subsequences
and
.
(c) Prove that for any natural numbers
and
,
(c) Prove that for any natural numbers
Passo 1
O enunciado diz que, a partir de uma aproximação racional
de
, podemos substituí‑la por uma melhor
. Aplicando isso a partir de
obtemos a sequência
Temos três pedidos:
(a) provar que a sequência satisfaz a relação recursiva
(a) provar que a sequência satisfaz a relação recursiva
(b) provar que
e, assim, obter a expansão em fração contínua
(c) provar a identidade para
:
Vou provar (a), depois (b) com um estudo de monotonicidade e limites das subsequências
e
, e por fim (c) por manipulação algébrica simples.
Passo 2
Prova de (a): traduza a operação dada em termos de uma aplicação sobre números reais. Se
é uma aproximação racional escrita
, a transformação dada envia
em
Dividindo numerador e denominador por
(ou seja, escrevendo em termos de
) obtemos
Defina a função
por
Então a regra de passagem de um termo ao seguinte é
. Agora transforme
na forma dada no enunciado:
Logo, tomando
,
com
(o caso inicial dado). Isso prova (a). Comentário didático: cada passo foi só álgebra elementar de frações e a observação de que dividir por
passa da forma em termos de
para uma função em
.
Passo 3
Preparação para (b): estudo da função
. Vamos ver propriedades essenciais de
.
- Derivada: calcule
. Usando a fórmula do quociente,
Portanto
é estritamente decrescente em
.
- Pontos fixos: resolva
. Temos
Assim os pontos fixos são
. Como todos os termos
são positivos, o único ponto fixo relevante é
. Comentário didático: ponto fixo é valor que não muda ao aplicar
; aqui surgem as raízes da equação quadrática resultante.
Passo 4
Mostre que a sequência oscila em torno de
: se
então
, e se
então
.
Justificativa: como
é decrescente e
, para qualquer
tem‑se
; e para
tem‑se
. Aplicando isso à sequência, vemos que os termos alternam em torno de
: dado que
, segue
, então
, e assim por diante. Portanto os termos ímpares ficam abaixo de
e os pares acima de
.
Passo 5
Monotonicidade das subsequências: mostre que
é monótona crescente e
é monótona decrescente.
Observação útil:
é decrescente, logo
(composição de duas funções decrescentes) é crescente. Mas
. Logo, para os índices ímpares:
Como
é crescente, se
então
. A base da indução é
(de fato
), portanto por indução os ímpares formam uma sequência crescente.
Análogo para os pares:
. Usando a base
? devemos verificar o sentido correto. Observando numericamente e pela alternância,
e
mas
. Mais diretamente: como
estão acima de
e
é crescente com ponto fixo
, a iteração dupla faz com que os pares diminuam em direção a
. Formalmente, usando a mesma indução (com base
, que se verifica computando
e
), obtemos que a sequência dos pares é decrescente.
Conclusão deste passo (explicando o porquê): portanto
é crescente e
é decrescente. Pela alternância do passo anterior os ímpares ficaram sempre abaixo de
(logo são majorados por
) e os pares sempre acima de
(logo são minorados por
).
Passo 6
Convergência das subsequências e identificação do limite.
Pela monotonia e por estarem ambas limitadas (ímpares crescentes e limitados superiormente por
; pares decrescentes e limitados inferiormente por
), cada subsequência converge. Denote
Como
e
é contínua em
, ao passar ao limite obtemos
Compondo,
, ou seja
é ponto fixo de
. Mas os pontos fixos de
já resolvemos: são
, e como todos os termos são positivos, os limites positivos possíveis são
. Podemos ver também que as duas equações acima implicam que
e
satisfazem
e
Resolver essas equações (substituindo uma na outra ou observando que ambos devem ser solução da equação
) dá
.
Portanto ambas as subsequências convergem para
, e isso implica que a sequência inteira
converge para
.
Passo 7
Interpretação em termos de fração contínua (conclusão de (b)).
Se o limite
satisfaz
e
foi escrita como
, então ao iterar infinitamente obtemos
Agrupando o denominador
como
(padrão da expansão) obtém‑se a forma familiar
Comentário didático: esta é exatamente a expressão em fração contínua mencionada. A convergência formal já foi justificada pelos passos anteriores.
Passo 8
Prova de (c): identidade geral para
.
Defina a expressão contínua da direita por
Chame a parte que se repete (o denominador infinito) de
:
Então
satisfaz a equação quadrática por auto‑similaridade:
Resolva a quadrática:
Como
e
, a solução relevante é
Agora expresse
em termos de
:
Racionalize o termo
multiplicando numerador e denominador por
(ou simplesmente note que
). Fazendo isso:
Logo
Isso prova a identidade
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)