Many impressive looking limits can be evaluated easily (especially by the person who makes them up), because they are really lower or upper sums in disguise. With this remark as hint, evaluate each of the following. (Warning: the list contains one red herring which can be evaluated by elementary considerations.)
(i) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{e}+\sqrt[n]{e^{2}}+\cdots+\sqrt[n]{e^{n}}}{n}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de números
a_n=\frac{\sqrt[n]{e}+\sqrt[n]{e^{2}}+\cdots+\sqrt[n]{e^{n}}}{n}
e pede o valor do limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.
Informações relevantes do enunciado:
  • O somatório vai de k=1 até k=n.
  • Cada termo é \sqrt[n]{e^{k}}.
  • Estamos dividindo a soma por n e queremos o limite quando n tende a infinito.

Passo 2

Primeiro simplificar cada termo usando regras de potência. Para todo k,
\sqrt[n]{e^{k}}=(e^{k})^{1/n}=e^{k/n}.
Portanto a expressão do enunciado pode ser reescrita como
a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} e^{k/n}.

Passo 3

Reconhecer a forma: escrevendo \Delta x=\dfrac{1}{n} e x_k=\dfrac{k}{n}, temos
a_n=\sum_{k=1}^{n} e^{x_k}\,\Delta x.
Isto é exatamente uma soma de Riemann do tipo “soma à direita” para a função f(x)=e^{x} no intervalo [0,1] com partição regular de largura \Delta x. Em palavras: estamos somando valores da função e^{x} em pontos x_k e multiplicando por \Delta x.

Passo 4

Explicar o porquê dessa soma de Riemann convergir para uma integral. Conceito rápido (didático): se f é contínua em [0,1], então as somas de Riemann (sejam à esquerda, à direita ou em pontos quaisquer do subintervalo) convergem para a integral definida \int_0^1 f(x)\,dx quando a malha da partição tende a zero. Aqui f(x)=e^{x} é contínua em [0,1], e a malha é \Delta x=1/n\to0. Logo
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} e^{x_k}\,\Delta x=\int_{0}^{1} e^{x}\,dx.

Passo 5

Calcular a integral explicitamente. A primitiva de e^{x} é e^{x}, então
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = e^{x}\Big|_{0}^{1}=e^{1}-e^{0}=e-1.
Portanto, pela interpretação como soma de Riemann, o limite é e-1.

Passo 6

Dar uma justificativa alternativa e rigorosa por desigualdade (squeeze), caso queira ver outra forma de raciocinar: como e^{x} é crescente, em cada subintervalo \big((k-1)/n,k/n\big) vale
\frac{1}{n}e^{(k-1)/n}\le \int_{(k-1)/n}^{k/n} e^{x}\,dx \le \frac{1}{n}e^{k/n}.
Somando para k=1,\dots,n obtém-se
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} e^{(k-1)/n}\le \int_{0}^{1} e^{x}\,dx \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} e^{k/n}.
Mas \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} e^{(k-1)/n}=e^{-1/n}\cdot \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} e^{k/n} e e^{-1/n}\to1 quando n\to\infty. Assim as somas à esquerda e à direita têm o mesmo limite, que é \int_0^1 e^{x}\,dx=e-1. Isso dá a mesma resposta de forma enfática e rigorosa por aperto (squeeze).

Resposta

e-1

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